Любопытное неравенство

[Tigran]

Что можно сделать для доказательства неравенства
$ab\le$-1+exp(a)+bln(b)-b
Насколько понял, оно справедливо для положительных действительных чисел. Но вот как это доказать? Есть мысль, что целесообразно исследовать функцию двух переменых, так как - по всей видимости - в данном неравенстве переменные не разделить.

[mihiv]

При $b=1,a=0,1$ правая часть неравенства $<0.$

[ewert]

Tigran в сообщении #300106 писал(а):

Что можно сделать для доказательства неравенства
$ab\le$-1+exp(a)+bln(b)-b
Насколько понял, оно справедливо для положительных действительных чисел.

Замените для удобства $a$ на $x$ и рассматривайте обе части как функции от $x$, в которых $b$ -- это параметр. Найдите точку, в которой совпадают производные по $x$ от правой и левой части. Докажите, что в этой точке неравенство выполняется. А в остальных тогда оно следует из выпуклости экспоненты.

Переменная $b$, конечно, должна быть положительной. А вот на $a$ (сиречь $x$) таких ограничений нет.

Но всё это -- если убрать минус единицу из правой части. А с минус единицей неравенство просто неверно.

[AKM]

Переезжаем в учебный раздел.