Многомерные расширения ТФКП

[Time]

Руст в сообщении #298879 писал(а):

Я говорил об аделях и иделях как раз для того, что они там уже существуют и как числа вводятся единым образом. Берете конечные расширение рациональных чисел. Адели этого поля, точнее архимедова часть и есть ваши числа (прямая сумма нескольких экземпляров комплексных и экземпляров комплексных чисел). Другого единого ввода я не знаю.

Можно ли эту Вашу фразу понимать как согласие с утверждением о принадлежности двойных чисел (а заодно и остальных невырожденных коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных чисел) к классификационному ряду: натуральные, целые, рациональные, комплексные? Извинтие за настойчивость, но это принципиальный вопрос и подавляющее большинство математиков с этим утверждлением категорически не согласны.

Руст в сообщении #298879 писал(а):

Согласен. Я говорил только о том, что при разборе на более высоком уровне приходится рассматривать и не коммутативные расширения.

Не вполне понятно, с чем именно Вы согласны, так как в приведенной Вами выше моей цитате целых три утверждения. Согласны со всеми тремя?

Руст в сообщении #298879 писал(а):

Любая двухмерная ассоциативная (даже более слабой ассоциативностью) является коммутативной алгеброй. С точки зрения алгебры этих чисел все они довольно простые объекты (прямые суммы двойных и комплексных) и не представляют интереса.

А вот причины именно этого убеждения в том, что ни двойные, ни более сложные коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные числа не представляют интереса - меня больше всего и интересует. Откуда такая уверенность? Из-за факта разложимости на прямые суммы комплексных и действительных алгебр? Но само по себе это ж ведь ни о чем не говорит, тем более что при числе измерений три и выше таким алгебрам соответствуют уже не евклидовы и псевдоевклидовы пространства, а специфического вида линейные финслеровы пространства, в которых наисложнейших особенностей столько, что хватит еще не на одну сотню лет разбираться. И Вы считаете, что все эти особенности не представляют никакого интереса?

Руст в сообщении #298879 писал(а):

Так называемые h-аналитические функции от двойных чисел к двойным так же не представляют особого интереса ввиду простого разложения двух функций каждой от одной переменной. Соответственно, они не могут представлять физические функции, взаимодействующие с соседними точками с разных направлений (не только по одному направлению).

А Вы в курсе, что любую аналитическую функцию обычной комплексной переменной также можно однозначно задать двумя функциями от одной вещественной переменной каждая? Или эти аналитические функции Вы также считаете неинтересными и тривиальными только из-за этого обстоятельства? Тогда какие же аналитические функции интересны?
Кроме того, над алгебрами коммутативно-ассоциативных чисел размерности три и выше, кроме h-аналитических есть еще и обобщенно-аналитические функции. С этими функциями связаны уже не конформные преобразования соответствующих им финслеровых пространств, а существенно более сложные и разнообразные. Это Вы также готовы считать неинтересным свойством коммутативно ассоциативных чисел и анализа над ними?

Руст в сообщении #298879 писал(а):

Пространственным выражением взаимодействия по направлениям (в стационарных задачах) является удовлетворение уравнению ... или обобщений. Поэтому, именно компоненты аналитических функций являются решениями таких двумерных задач. Относительно последних я уже сказал.

Так h-аналитическим функциям комплексной переменной соответствуют решения уравнения полностью аналогичного уравнению двумерного Лапласа - двумерного Даламбера. Чем его решения хуже для физики двумерного пространства-времени? А в случае трех и четырех измерений уравнения, которым удовлетворяют аналитические и обобщенно аналитические функции сильно усложняются и разнообразятся. Неужели это также не вызывает никакого интереса?

[Руст]

Time в сообщении #299026 писал(а):

Руст в сообщении #298879 писал(а):

Другого единого ввода я не знаю.

Цитата:

Можно ли эту Вашу фразу понимать как согласие с утверждением о принадлежности двойных чисел (а заодно и остальных невырожденных коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных чисел) к классификационному ряду: натуральные, целые, рациональные, комплексные? Извинтие за настойчивость, но это принципиальный вопрос и подавляющее большинство математиков с этим утверждлением категорически не согласны.

Я сказал, что не знаю другого способа, кроме как архимедова компонента аделей алгебраических расширений рациональных чисел, где они одинаково могут присутствовать ваши Числа и комплексные числа.

Цитата:

Не вполне понятно, с чем именно Вы согласны, так как в приведенной Вами выше моей цитате целых три утверждения. Согласны со всеми тремя?

Согласен с утверждениями типа возможно не стоит ограничиваться только с коммутативными при размерностях больше 2. На вопрос ответил, где они рассматриваются единым образом.

Цитата:

А вот причины именно этого убеждения в том, что ни двойные, ни более сложные коммутативно-ассоциативные гиперкомплексные числа не представляют интереса - меня больше всего и интересует. Откуда такая уверенность? Из-за факта разложимости на прямые суммы комплексных и действительных алгебр? Но само по себе это ж ведь ни о чем не говорит, тем более что при числе измерений три и выше таким алгебрам соответствуют уже не евклидовы и псевдоевклидовы пространства, а специфического вида линейные финслеровы пространства, в которых наисложнейших особенностей столько, что хватит еще не на одну сотню лет разбираться. И Вы считаете, что все эти особенности не представляют никакого интереса?

Я говорил о том, что они не представляют интереса, как алгебры и функции на нем, представляющиеся в виде прямой суммы функций каждый от своего аргумента. Финслеровы пространства, получающиеся от нормы на этих числах представляют интерес скорее как учебно-методический перед освоением более общих финслеровых пространств.

Цитата:

А Вы в курсе, что любую аналитическую функцию обычной комплексной переменной также можно однозначно задать двумя функциями от одной вещественной переменной каждая? Или эти аналитические функции Вы также считаете неинтересными и тривиальными только из-за этого обстоятельства? Тогда какие же аналитические функции интересны?

Я не в курсе. В каком смысле аналитическая функция $w=z^2$ или $w=u+iv,z=x+iy, u=x^2-y^2,v=2xy$ представляются в виде функций от одной переменной?

Цитата:

Кроме того, над алгебрами коммутативно-ассоциативных чисел размерности три и выше, кроме h-аналитических есть еще и обобщенно-аналитические функции. С этими функциями связаны уже не конформные преобразования соответствующих им финслеровых пространств, а существенно более сложные и разнообразные. Это Вы также готовы считать неинтересным свойством коммутативно ассоциативных чисел и анализа над ними?

Я уже говорил, сами Числа и конформные преобразования относительно норменной метрики представляют мало интереса. О более сложных надо рассмотреть отдельно.

Цитата:

Так h-аналитическим функциям комплексной переменной соответствуют решения уравнения полностью аналогичного уравнению двумерного Лапласа - двумерного Даламбера. Чем его решения хуже для физики двумерного пространства-времени? А в случае трех и четырех измерений уравнения, которым удовлетворяют аналитические и обобщенно аналитические функции сильно усложняются и разнообразятся. Неужели это также не вызывает никакого интереса?

Я уже сказал, что они могут представлять нечто физическое только в одномерном пространстве (+время). Уже для просранств с пространственной размерностью больше одного такие функции не могут представлять не тривиальное распределение физического поля.

[Time]

Руст в сообщении #299250 писал(а):

Я сказал, что не знаю другого способа, кроме как архимедова компонента аделей алгебраических расширений рациональных чисел, где они одинаково могут присутствовать ваши Числа и комплексные числа.

Еще раз прошу прощения, но Вы говорите о СПОСОБЕ получения двойных чисел, а я Вас спрашиваю о ПРИНАДЛЕЖНОСТИ данного класса чисел. В частности, совсем не сложно указать способ построения кватернионов или октав, но от этого они не становятся автоматически членами класса Чисел. Так и с двойными. Их способ построения совершенно прозрачен, а вот вопрос, должны ли они разделить судьбу кватернионов и октав и оказаться за чертой понятия Числа, или, быть может, стать в один ряд с натуральными, целыми, рациональными, действительными и комплексными - как раз и хотелось бы решить.
Я вижу тут только два варианта. Первый - мы признаем двойные числа "не Числами", тогда их место где-то рядом с кватернионами или матрицами (Числами не являющимися) и они не имеют права претендовать на такую же фундаментальную роль в математике как остальные члены перечисленного выше ряда.
И второй.. Мы доказываем, что двойные числа, в отличие от кватернионов и октав, Числами как раз являются. Тогда они оказываются среди остальных классов Чисел и занимают место не перед или за комплексными, а "параллельно" им (меду такой "параллельной" парой комплексных и двойных чисел, кстати, еще предстоит занять место дуальным числам, у которых квадрат мнимой единицы равен не плюс или минус одному, а нулю, но пока лучше этого несущественного момента не затрагивать, что бы окончательно не запутаться). Такое доказательство права двойных чисел встать рядом с остальными Числами должно строиться путем построения ВСЕХ БЕЗ ИСКЛЮЧЕНИЯ аналогов свойств, что известны у комплексных чисел, включая геометрические и физические интерпретации, чем, собственно наша группа в настоящее время и заканчивает заниматься. Если не удастся - придется вернуться к первому варианту и остаться, по-сути, ни с чем. Но если все сростется (а я в этом уже уверен, так как на сегодня получены практически все необходимые результаты), тогда мало не покажется, поскольку вопрос, естественно, не в самих двойных числах, а в том, можно ли что то отличное от пустого множества получить в классификации Чисел дальше? То есть, перейти к трех-, четырех- и так далее мерным Числам. Если и этот вопрос будет решен положительно, то я ни на секунду не сомневаюсь, что начнется интенсивное изучение этих дополнительных многмерных Чисел, соответствующих им геометрий и пространств, а также их возможных физических интерпретаций, чего сегодня не наблюдается.

Так могу я надеяться услышать, все таки, Ваш вариант ответа на вопрос: являются ли двойные числа - Числами, или нет? Не способ получения или ввода куда-то, а обычное короткое Да или Нет? Все остальное, извините, уход от ответа..

Руст в сообщении #299250 писал(а):

Я говорил о том, что они не представляют интереса, как алгебры и функции на нем, представляющиеся в виде прямой суммы функций каждый от своего аргумента.

Это утверждение Вами не доказано, а, по сути, постулировано. Почему не представляют интереса? Потому что, сами числа раскладываются на две вещественные алгебры, а их h-аналитические функции сводятся к двум аналитическим функциям от одной вещественной переменной каждая? Ну так ровно тоже самое можно проделать с комплексными числами и с аналитическими функциями над ними, что ниже я и постараюсь показать. Если мне это удастся - как прикажете поступить? Примем решение, что и комплексные числа не представляют интереса? Или, все же, согласимся аналогичный интерес найти в алгебре и в h-анализе над двойными числами?

Цитата:

Финслеровы пространства, получающиеся от нормы на этих числах представляют интерес скорее как учебно-методический перед освоением более общих финслеровых пространств.

Перед тем как использовать многомерные коммутативно-ассоциативные числа и связанные с ними линейные финслеровы пространства как учебно-методический материал, последний было бы неплохо наработать. Вы можете мне показать хотя бы одну разработку хоть одной такой многомерной алгебры и соотвествующего ей линейного финслерова пространства? Такую, что бы могла стать учебно-методическим пособием.. Книга и статьи Григория Ивановича, и еще двух трех членов нашей группы - не в счет, так как именно с этой целью были инициированы и далеко не завершены, что бы переходить в методички.

Руст в сообщении #299250 писал(а):

Я не в курсе. В каком смысле аналитическая функция $f(z)=z^2$ представляются в виде функций от одной переменной?

Очень просто. Любой аналитической функции от обычной комплексной переменной соответствует одна и только одна h-аналитическая функция двойной переменной. Приведенной в Вашем примере функции $w=z^2$ соответствует аналогичная h-аналитическая функция от двойной переменной $W=h^2$; $W=U+jV$; $h=t+jx$ ($j^2=+1$) с ее двумя скалярными компонентами: $U=t^2+x^2$ и $V=2tx$. Как Вам прекрасно известно в алгебре двойных чисел есть действительный изотропный базис, в котором функции $U$ и $V$ представляются в виде суммы и разности двух вещественных функций от одной переменной каждая. В алгебре комплексных чисел аналогичного действительного изотропного базиса нет (что, собственно, и затрудняет приход к выводу об эквивалентности аналитических функций комплексной переменной с парой функций от одной вещественной переменной каждая), но можно ввести мнимый изотропный базис, в котором приведенные Вами скалярные функции $u$ и $v$ точно также разложатся на сумму и разность двух функций от одной вещественной переменной каждая, как разлагались $U$ и $V$. Иными словами, мы всегда можем задать две произвольные аналитические функции от одной вещественной переменной каждая и указать, какая именно (и только она) аналитическая функция комплексной переменной им (и только им) соответствует. Равно как и наоборот. Взять любую аналитическую функцию комплексной переменной и указать, какие именно (и только эти) две функции от одной переменной каждая ей соответсвуют. Это не бог весть какое глубокое открытие, но странно, что данное элементарное свойство комплексных чисел мне нигде не встречалось и я не видел, что бы оно использовалось.. Вам, похоже, так же..

Руст в сообщении #299250 писал(а):

Я уже говорил, сами Числа и конформные преобразования относительно норменной метрики представляют мало интереса. О более сложных надо рассмотреть отдельно.

Ну нельзя же так в математике рубить с плеча! Вы можете мне дать ссылку хотя бы на одну работу, в которой исследовались бы конформные преобразования псевдоевклидовой плоскости в связи с h-аналитическими функциями двойной переменной, причем в соотнесении с аналогичными построениями на комплексной плоскости? Только проделав такие построения можно было б судить, интересны или не интересны они, равно как и то, есть ли за ними физические интерпретации, или нет.
Еще более остро данная проблема стоИт за многомерными расширениями двойных и комплексных чисел. Тут также не исследованы даже конфомные преобразования и соответствующие им самые простые после линейных h-аналитические функции. Разложимость на прямые суммы в изотропных базисах, как я надеюсь показал выше, не может служить обоснованием тривиальности, но является лишь способом отмахнуться от проблемы.
Хорошо еще, что Вы согласны исследовать более сложные, чем h-аналитические функции поличисел (коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных чисел), но делать это не разобравшись с тем, что считаете тривиальным (на самом деле, все далеко не так просто, как Вам и многим кажется), но нигде сколь ни будь подробно не исследовалось, совершенно невозможно.

Руст в сообщении #299250 писал(а):

Я уже сказал, что они могут представлять нечто физическое только в одномерном пространстве (+время). Уже для просранств с пространственной размерностью больше одного такие функции не могут представлять не тривиальное распределение физического поля.

Так я именно о двумерном (где одно пространственное и одно временнОе измерения) пространстве-времени в связи с двойными числами всегда и говорил. То, что измерений всего два - совсем не делает геометрические и физические интерпретации h-аналитических функций от двойной переменной тривиальными и неинтересными. Если хотите, гляньте приводившиеся мною ранее на данном форуме конкретные примеры и именно в соотнесении с обычными аналитическими функциями комплексной переменной и их физическими и геометрическими интерпретациями:

topic27715-120.html

(самый нижний пост на странице).

[Руст]

Цитата:

Еще раз прошу прощения, но Вы говорите о СПОСОБЕ получения двойных чисел, а я Вас спрашиваю о ПРИНАДЛЕЖНОСТИ данного класса чисел. В частности, совсем не сложно указать способ построения кватернионов или октав, но от этого они не становятся автоматически членами класса Чисел. Так и с двойными. Их способ построения совершенно прозрачен, а вот вопрос, должны ли они разделить судьбу кватернионов и октав и оказаться за чертой понятия Числа, или, быть может, стать в один ряд с натуральными, целыми, рациональными, действительными и комплексными - как раз и хотелось бы решить.

Я говорил, что в математике они имеют параллельное представление. В этом смысле они Числа. Но математики их предпочитают называть конечномерными коммутативными ассоциативными алгебрами над $R$. Само название для меня несущественно, главное их свойства.

Цитата:

кстати, еще предстоит занять место дуальным числам, у которых квадрат мнимой единицы равен не плюс или минус одному, а нулю, но пока лучше этого несущественного момента не затрагивать, что бы окончательно не запутаться.

Это одномерная Грассманова алгебра, точнее алгебра функций на нем (см. Березин. из так называемой Суперматематики.

Цитата:

Так могу я надеяться услышать, все таки, Ваш вариант ответа на вопрос: являются ли двойные числа - Числами, или нет? Не способ получения или ввода куда-то, а обычное короткое Да или Нет? Все остальное, извините, уход от ответа.

Я готовь их назвать числами, указал где они появляются на равне с комплексными. Но лучше не трогать утвердившиеся в математике названия, пока они не противоречат названиям из других разделов математики.

Цитата:

Это утверждение Вами не доказано, а, по сути, постулировано. Почему не представляют интереса? Потому что, сами числа раскладываются на две вещественные алгебры, а их h-аналитические функции сводятся к двум аналитическим функциям от одной вещественной переменной каждая? Ну так ровно тоже самое можно проделать с комплексными числами и с аналитическими функциями над ними, что ниже я и постараюсь показать. Если мне это удастся - как прикажете поступить? Примем решение, что и комплексные числа не представляют интереса? Или, все же, согласимся аналогичный интерес найти в алгебре и в h-анализе над двойными числами?

С комплексными числами это не удастся, я покажу ниже.

Цитата:

Перед тем как использовать многомерные коммутативно-ассоциативные числа и связанные с ними линейные финслеровы пространства как учебно-методический материал, последний было бы неплохо наработать. Вы можете мне показать хотя бы одну разработку хоть одной такой многомерной алгебры и соотвествующего ей линейного финслерова пространства? Такую, что бы могла стать учебно-методическим пособием.. Книга и статьи Григория Ивановича, и еще двух трех членов нашей группы - не в счет, так как именно с этой целью были инициированы и далеко не завершены, что бы переходить в методички.

Финслерова геометрия, возникающая от нормы (теоритико-числовой) на коммутативных ассоциативных конечномерных алгебрах представляют интерес с моей точки зрения скорее как учебно-методический. Для физики на мой взгляд, нужно использование общей финслеровой геометрии. Но тут вопрос слишком широкий, чтобы можно было о нем дискутировать на этом форуме.

Цитата:

Очень просто. Любой аналитической функции от обычной комплексной переменной соответствует одна и только одна h-аналитическая функция двойной переменной. Приведенной в Вашем примере функции $w=z^2$ соответствует аналогичная h-аналитическая функция от двойной переменной $W=h^2$; $W=U+jV$; $h=t+jx$ ($j^2=+1$) с ее двумя скалярными компонентами: $U=t^2+x^2$ и $V=2tx$. Как Вам прекрасно известно в алгебре двойных чисел есть действительный изотропный базис, в котором функции $U$ и $V$ представляются в виде суммы и разности двух вещественных функций от одной переменной каждая. В алгебре комплексных чисел аналогичного действительного изотропного базиса нет (что, собственно, и затрудняет приход к выводу об эквивалентности аналитических функций комплексной переменной с парой функций от одной вещественной переменной каждая), но можно ввести мнимый изотропный базис, в котором приведенные Вами скалярные функции $u$ и $v$ точно также разложатся на сумму и разность двух функций от одной вещественной переменной каждая, как разлагались $U$ и $V$. Иными словами, мы всегда можем задать две произвольные аналитические функции от одной вещественной переменной каждая и указать, какая именно (и только она) аналитическая функция комплексной переменной им (и только им) соответствует. Равно как и наоборот. Взять любую аналитическую функцию комплексной переменной и указать, какие именно (и только эти) две функции от одной переменной каждая ей соответсвуют. Это не бог весть какое глубокое открытие, но странно, что данное элементарное свойство комплексных чисел мне нигде не встречалось и я не видел, что бы оно использовалось.. Вам, похоже, так же..

Идею вашу я понял. Но считаю, что вы ошибаетесь. Чтобы разобраться надо встать на твердую почву (более чётко определить понятия). Мне удобнее пользоваться алгебраическим подходом на алгебру функций из алгебры (чисел) в алгебру (чисел) как проективный предел пространства полиномов, так же как р-адические числа являющиеся проективным пределом диаграмм по модулю $Z/p^nZ$. Сам подход единый как для двойных чисел $R[j],j^2=1$, так и для комплексных чисел $R[i],i^2=-1$. Однако, полученные алгебры функций совершенно разные. В первом случае вводя $e_1=\frac{1+j}{\sqrt 2},e_2=\frac{1-j}{\sqrt 2}, e_1*e_2=e_2*e_1=0$, получаем, что алгебра функций является прямой суммой двух алгебр одномерных функций. Во втором случае это не так. То, что вы пытаетесь делать комплексируя саму комплексную алгебру, рассматривая как двумерную вещественную, приведет к расширению этой алгебры и алгебры функций на нем. То, что расширенная алгебра содержит подалгебру изоморфную алгебре функций двойных чисел ничего не говорит. Сама алгебра не имеет такого разложения. Это мне напомнило давний спор на счет того, почему меня не удивляет, что комплексированная алгебра конформных преобразований содержит алгебру Ли группы Лоренца, являющийся $sl(2)$. Я говорил, что меня бы удивило, если бы она не содержала. Потом Григорий Иванович меня понял и говорил, где ж ты был раньше. Здесь примерно тот же трюк с комплексификацией.

Цитата:

Ну нельзя же так в математике рубить с плеча! Вы можете мне дать ссылку хотя бы на одну работу, в которой исследовались бы конформные преобразования псевдоевклидовой плоскости в связи с h-аналитическими функциями двойной переменной, причем в соотнесении с аналогичными построениями на комплексной плоскости? Только проделав такие построения можно было б судить, интересны или не интересны они, равно как и то, есть ли за ними физические интерпретации, или нет.
Еще более остро данная проблема стоИт за многомерными расширениями двойных и комплексных чисел. Тут также не исследованы даже конфомные преобразования и соответствующие им самые простые после линейных h-аналитические функции. Разложимость на прямые суммы в изотропных базисах, как я надеюсь показал выше, не может служить обоснованием тривиальности, но является лишь способом отмахнуться от проблемы.
Хорошо еще, что Вы согласны исследовать более сложные, чем h-аналитические функции поличисел (коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных чисел), но делать это не разобравшись с тем, что считаете тривиальным (на самом деле, все далеко не так просто, как Вам и многим кажется), но нигде сколь ни будь подробно не исследовалось, совершенно невозможно.

Тут мы особо не противоречим. Говорить можно много, но здесь есть рамки.

[Time]

Руст в сообщении #299607 писал(а):

Я говорил, что в математике они имеют параллельное представление. В этом смысле они Числа. Но математики их предпочитают называть конечномерными коммутативными ассоциативными алгебрами над $R$. Само название для меня несущественно, главное их свойства.

Естественно, что важно не формальное название, а свойства того или иного объекта. Ведь именно на основании этих свойств математики и причисляют те или иные структуры к одной классификации или к другой. Об этом и речь. Обладают ли двойные числа такими же свойствами, как и комплексные, что бы заслуженно стоять с ними рядом в классификации поняти Числа, или нет. К сожалению, я так и не увидел четкого ответа. Попробую с другого конца.. Скажите, а кватернионы, по Вашему мнению, Числами являются? Просьба также любой из возможных ответов хотя бы коротко, но обосновать, что бы это не выглядело как простая констатация факта. Надеюсь, хотя бы из ответа на данный вопрос я проясню для себя Ваше понимание места двойных чисел в классификации Чисел.

Руст в сообщении #299607 писал(а):

Я готовь их назвать числами, указал где они появляются на равне с комплексными. Но лучше не трогать утвердившиеся в математике названия, пока они не противоречат названиям из других разделов математики.

Ну, что ж, осталось только понять, считаете вы Числами еще и кватернионы.. Они ж ведь также появляются наравне с комплексными (вернее, появились из попыток расширить последние в связи с алгебраизацией трех- и четырехмерных евклидовых пространств) и, кроме того, даже содержат последние в качестве подалгебры.

Руст в сообщении #299607 писал(а):

Финслерова геометрия, возникающая от нормы (теоритико-числовой) на коммутативных ассоциативных конечномерных алгебрах представляют интерес с моей точки зрения скорее как учебно-методический.

Вы, к сожалению, не привели примеров работ, на основании которых финслеровы геометрии, возникающие в связи с коммутативно-ассоциативными числами можно было б использовать как учебно-методический материал. Кто и где эти конкретные финслеровы геометрии исследовал? В какой полноте? Ведь даже у трехмерных финслеровых пространств связанных с алгебрами R+C и R+R+R такая бездна белых пятен в геометрических свойствах, что хватит не на один год разбираться.. Как можно говорить об учебниках, если материал, который в них должен излагаться еще даже в черновиках не появился? А если в процессе изучения этих пространств и их геометрических свойств неожиданно выяснится, что в качестве подгрупп их групп симметрий, кроме группы Лоренца содержатся еще такие группы как U(1), SU(2), SU(3) и так далее? Скажите, что математикам это было известно лет сто назад, но с физикой это все равно никак связать невозможно?

Руст в сообщении #299607 писал(а):

Для физики на мой взгляд, нужно использование общей финслеровой геометрии. Но тут вопрос слишком широкий

Так полноценное использование более общих финслеровых геометрий, чем относительно простые связанные с коммутативно-ассоциативными числами, возможно не ранее, чем будут более менее полно изучены эти самые элементарные геометрии. Мне, например, трудно представить, что бы математики начинали изучать римановы и псевдоримановы геометрии, не имея перед этим четких представлений о свойствах элементарных евклидовых и псевдоевклидовых пространтсв. Почему иначе пытаются поступать в финслеровом случае? Пока не будут выяснены все тонкости элементарных и простейщих финслеровых пространств (а связанные с коммутативно-ассоциативными числами таковыми, как раз, и являются) переходить к геометриям общего вида - заранее обрекать себя на ошибки и блуждания в потемках. Только полностью выявив геометрические особенности таких простейших финслеровых пространств, и можно с более менее вескими основаниями говорить о наличии или отсутствии их связей с физическими интерпретациями. Сейчас же, как для положительных, так и для отрицательных однозначных выводов, просто на просто, не хватает знаний их геометрических свойств. Если я не прав, с удовольствием познакомлюсь с монографиями, в которых полностью раскрыты геометрические свойства хотя бы парочки таких пространств.

Руст в сообщении #299607 писал(а):

Идею вашу я понял. Но считаю, что вы ошибаетесь. Чтобы разобраться надо встать на твердую почву (более чётко определить понятия).

Скажите, разве не принято говорить, что аналитическая функция от комплексной переменной полностью задается, если указаны две сопряженные гармонические функции от двух вещественных переменных? Разве я не показал способ, каким образом задание двух произвольных аналитических функций от одной вещественной переменной каждая приводит к ровно токому же результату? Тогда, что мешает признать, что аналитические функции от комплексной переменной сводятся к заданию двух функций от одной переменной? (Даже если это и невозможно осуществить одними только заменами базиса.) Это же ровно тоже самое, что и задание двух сопряженных гармонических функций от двух переменных. Либо покажите, что в отталкивании от двух произвольных аналитических функций одной переменной есть какие-то проблемы с получением некоторых аналитических функций комплексной переменной, либо наоборот, укажите на какие-то аналитические комплексные функции, не сводящиеся описанным мною способом к двум функциям от одной переменной.
Ни к какому комплексному расширению комплексных чисел я при своем доказательстве не переходил, хотя оно вполне может использоваться. Ведь математики давно увидели на сколько результативным в понимании истинных свойств функций от вещественной переменной может являться переход от них к комплексному расширению. Точно также и тут. Что бы лучше понять свойства самой комплексной плоскости и функций на ней - на много эффективнее перейти к ее собственной комплексификации. То есть, перейти от алгебры и пространства C к алгебре и пространству C+C. Только при этом нужно помнить, что последнее является уже четырехмерным финслеровым, а выделенные функции на нем не ограничиваются одними только аналитическими или h-аналитическими, но имеются и их естетсвенные расширения.

Руст в сообщении #299607 писал(а):

Это мне напомнило давний спор на счет того, почему меня не удивляет, что комплексированная алгебра конформных преобразований содержит алгебру Ли группы Лоренца, являющийся $sl(2)$ . Я говорил, что меня бы удивило, если бы она не содержала. Потом Григорий Иванович меня понял и говорил, где ж ты был раньше. Здесь примерно тот же трюк с комплексификацией.

На сколько я помню тот разговор и реакцию Гарасько - он ее выразил в ироничном тоне. Дело в том, что шестипараметрическая группа Лоренца является одной из самых главных групп симметрий современной физики и факт ее наличия в качестве подгруппы некой группы симметрий какого-то иного четырехмерного метрического пространства, чем пространство Минковского является для физиков крайне удивительным и важным. Для математиков это, быть может, мало что значащий факт, о котором они лет сто назад уже знали (правда, возникает вопрос - почему при этом молчали?), но покажите мне хоть одного физика, который связывал бы группу Лоренца не только с пространством Минковского и его группой движений, но и с еще каким-то четырехмерным метрическим пространством, причем кардинальным образом отличным от квадратичного.

Что касается трюков/нетрюков, разве это важно? Важно - соответствует некий полученный тезис действительному положению дел, или нет. Вы можете опровергнуть мое утверждение о взаимнооднозначной сводимости аналитических функций обычной комплексной переменной к паре аналитических функций от одной вещественной переменной каждая конкретным примером двух функций, из которых нельзя единственным образом получить комплексную, или наоборот, примером комплексной, из которой единственным образом не получается пара вещественных? Все остальное - игра в определения и не более того..

[Руст]

Цитата:

Ну, что ж, осталось только понять, считаете вы Числами еще и кватернионы.. Они ж ведь также появляются наравне с комплексными (вернее, появились из попыток расширить последние в связи с алгебраизацией трех- и четырехмерных евклидовых пространств) и, кроме того, даже содержат последние в качестве подалгебры.

Это чистая терминология. Но пока рассматриваем коммутативные конечномерные алгебры лучше их оставить на стороне, т.е. не включать в Числа. Я говорил только об их важности с точки зрения использования в физике.

Цитата:

Вы, к сожалению, не привели примеров работ, на основании которых финслеровы геометрии, возникающие в связи с коммутативно-ассоциативными числами можно было б использовать как учебно-методический материал. Кто и где эти конкретные финслеровы геометрии исследовал? В какой полноте? Ведь даже у трехмерных финслеровых пространств связанных с алгебрами R+C и R+R+R такая бездна белых пятен в геометрических свойствах, что хватит не на один год разбираться.. Как можно говорить об учебниках, если материал, который в них должен излагаться еще даже в черновиках не появился? А если в процессе изучения этих пространств и их геометрических свойств неожиданно выяснится, что в качестве подгрупп их групп симметрий, кроме группы Лоренца содержатся еще такие группы как U(1), SU(2), SU(3) и так далее? Скажите, что математикам это было известно лет сто назад, но с физикой это все равно никак связать невозможно?

От трехмерных и четырехмерных и более размерности хорошей физики не получится. Причина в ваших h аналитических функциях, являющихся конформными отображениями в соответствующих финслеровых метриках.

Цитата:

Так полноценное использование более общих финслеровых геометрий, чем относительно простые связанные с коммутативно-ассоциативными числами, возможно не ранее, чем будут более менее полно изучены эти самые элементарные геометрии. Мне, например, трудно представить, что бы математики начинали изучать римановы и псевдоримановы геометрии, не имея перед этим четких представлений о свойствах элементарных евклидовых и псевдоевклидовых пространтсв. Почему иначе пытаются поступать в финслеровом случае? Пока не будут выяснены все тонкости элементарных и простейщих финслеровых пространств (а связанные с коммутативно-ассоциативными числами таковыми, как раз, и являются) переходить к геометриям общего вида - заранее обрекать себя на ошибки и блуждания в потемках. Только полностью выявив геометрические особенности таких простейших финслеровых пространств, и можно с более менее вескими основаниями говорить о наличии или отсутствии их связей с физическими интерпретациями. Сейчас же, как для положительных, так и для отрицательных однозначных выводов, просто на просто, не хватает знаний их геометрических свойств. Если я не прав, с удовольствием познакомлюсь с монографиями, в которых полностью раскрыты геометрические свойства хотя бы парочки таких пространств.

Почти любой современный курс дифференциальной геометрии начинается с понятии дифференцируемых многообразий, далее с общей римановой геометрии. Финслеровы пространства связанные с вашими числами заслуживают упоминания в качестве примеров и упражнений.

Цитата:

Скажите, разве не принято говорить, что аналитическая функция от комплексной переменной полностью задается, если указаны две сопряженные гармонические функции от двух вещественных переменных? Разве я не показал способ, каким образом задание двух произвольных аналитических функций от одной вещественной переменной каждая приводит к ровно токому же результату?

С первым (от двух переменных) никто не спорит. Спор о не представимости произвольной аналитической функции $f(z),z=x+iy$ в виде линейной комбинации двух функций каждая от одной вещественной переменной. Этого вы не показали, мало того, я пытаюсь объяснить, почему это невозможно.

Цитата:

Ни к какому комплексному расширению комплексных чисел я при своем доказательстве не переходил, хотя оно вполне может использоваться. Ведь математики давно увидели на сколько результативным в понимании истинных свойств функций от вещественной переменной может являться переход от них к комплексному расширению. Точно также и тут. Что бы лучше понять свойства самой комплексной плоскости и функций на ней - на много эффективнее перейти к ее собственной комплексификации. То есть, перейти от алгебры и пространства C к алгебре и пространству C+C. Только при этом нужно помнить, что последнее является уже четырехмерным финслеровым, а выделенные функции на нем не ограничиваются одними только аналитическими или h-аналитическими, но имеются и их естетсвенные расширения.

Я говорил, что при комплексификации получаются подалгебры, изоморфные к алгебре h аналитических функций, в этом смысле я говорил, что вашу идею понял, но вы ошибаетесь. Речь идет об алгебре голоморфных функций. Вообще этот вопрос очень принципиальный и требует расписать пояснения на несколько страниц, чтобы стало понятным для не математиков.

Цитата:

На сколько я помню тот разговор и реакцию Гарасько - он ее выразил в ироничном тоне.

спросите у него, если иронизировать, то только над не знанием простых математических вещей.

Цитата:

Дело в том, что шестипараметрическая группа Лоренца является одной из самых главных групп симметрий современной физики и факт ее наличия в качестве подгруппы некой группы симметрий какого-то иного четырехмерного метрического пространства, чем пространство Минковского является для физиков крайне удивительным и важным. Для математиков это, быть может, мало что значащий факт, о котором они лет сто назад уже знали (правда, возникает вопрос - почему при этом молчали?), но покажите мне хоть одного физика, который связывал бы группу Лоренца не только с пространством Минковского и его группой движений, но и с еще каким-то четырехмерным метрическим пространством, причем кардинальным образом отличным от квадратичного.

С точки зрения алгебры его алгебра Ли является простейшей простой алгебой $sl_2(C)$ которое содержится в качестве подалгебры и в любых $sl_n(C)$ и было бы удивительным если бы она не содержалась в качестве подалгебры в комплексифицированной бесконечномерной алгебре Ли конформных преобразований. На сколько я понял, это дошло до Григорий Ивановича, и тогда он сказал эту фразу.

Цитата:

Вы можете опровергнуть мое утверждение о взаимнооднозначной сводимости аналитических функций обычной комплексной переменной к паре аналитических функций от одной вещественной переменной каждая конкретным примером двух функций, из которых нельзя единственным образом получить комплексную, или наоборот, примером комплексной, из которой единственным образом не получается пара вещественных? Все остальное - игра в определения и не более того..

Я уже говорил, вопрос о несводимости функции от двух переменных x,y для функции $f(z), z=x+iy$ к линейной комбинации двух функций от одной переменной (общей для всех аналитических функций только сами функции разные). Если будет время, скорее после приезда, я распишу это на нескольких страницах, чтобы и не математик смог понять. Это действительно принципиальный вопрос, на чем основывается мой скептицизм относительно малой пригодности (скорее как учебно-методической) финслеровых геометрий на Числах.

[Time]

Руст в сообщении #300067 писал(а):

Это чистая терминология. Но пока рассматриваем коммутативные конечномерные алгебры лучше их оставить на стороне, т.е. не включать в Числа. Я говорил только об их важности с точки зрения использования в физике.

Ну вот.. Вы так и не дали мне шанса понять, включаете ли Вы двойные числа или кватернионы в класс Чисел, к которому относят натуральные, целые, рациональные, действительные и комплексные? Если даже в таком относительно простом вопросе мы с Вами не можем найти взаимопонимание, весьма сомнительно найти его в более сложных случаях.

Руст в сообщении #300067 писал(а):

От трехмерных и четырехмерных и более размерности хорошей физики не получится. Причина в ваших h аналитических функциях, являющихся конформными отображениями в соответствующих финслеровых метриках.

Очередной пример наличия взаимного непонимания. Начиная с трех- и далее измерений в "наших" поличисловых пространствах, кроме h-аналитических функций и связанных с ними конформых отображений как необходимый и естественный элемент присутствуют обобщенноаналитические функции и связанные с ними метрически выделенные преобразования, инвариантами которых являются уже не длины и углы, а тринглы и их многовекторные расширения. Связанные с этими дополнительными финслеровыми метрическими инвариантами функции и преобразования - составляют неотъемлимое свойство многомерных поличисловых пространств и, делая заключение о физической бесперспективности поличисел, нужно иметь ввиду наличие этих свойств и четкие представления как они работают. У кого ни будь такие знания на сегодня есть? Но даже на уровне одних только h-аналитических функций и связанных с ними конформных преобразований поличисловых пространств ставить точку в отношении их физических приложений - рано. В частности, на плоскости двойной переменной такие функции и преобразования в случае нелинейности позволяют моделировать переходы между наблюдателями, связанными с кривыми мировыми линиями, то есть, находящимися в различных неинерциальных системах отсчета. Разве это не пример конкретного использования h-аналитических функций и конформной группы симметрий в физике (пусть и всего двумерного пространства-времени)?

Руст в сообщении #300067 писал(а):

Почти любой современный курс дифференциальной геометрии начинается с понятии дифференцируемых многообразий, далее с общей римановой геометрии. Финслеровы пространства связанные с вашими числами заслуживают упоминания в качестве примеров и упражнений.

Современные книги по теории дифференциальной геометрии финслеровых пространств (за исключением книг Рашевского и Гарасько) базируются на ОПРЕДЕЛЕНИИ финслерова пространства, как задаваемого при помощи финслерова метрического тензора имеющего два индекса и зависящего не только от точки, но и от направления в касательном пространстве в ней. При таком подходе (он, в частности, довольно полно изложен в книге Рунда "Дифференциальная геометрия финслеровых пространств") можно, например, вычислять длины геодезических или экстремалей, но вот понятие угла становится уже серьезной проблемой (см. соотвествтующий параграф упоминавшейся книги). То, что сделал Григорий Иванович, отталкиваясь от заделов Рашевского, явязано с С СОВСЕМ ИНЫМ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ понятия финслерова пространства. В основе этого подхода оказывается уже не двух, а n-индексный финслеров метрический тензор, зависящий как и риманов лишь от точки и никак не связанный с направлениями в касательном пространстве. Вы разницу между этими двумя подходами понимаете? На основе какого из двух собираетесь студентам примеры по финслеровой геометрии связанной с поличислами демонстрировать? На основе первого? Ничего не выйдет. Он принципиально не позволяет работать с линейными финслеровыми пространствами, которые сами себе касательные в каждой точке. А если на основании второго, так он еще не стал общеупотребимой практикой и содержит в себе большое число белых пятен..

Руст в сообщении #300067 писал(а):

С первым (от двух переменных) никто не спорит. Спор о не представимости произвольной аналитической функции в виде линейной комбинации двух функций каждая от одной вещественной переменной. Этого вы не показали, мало того, я пытаюсь объяснить, почему это невозможно.

Я разве хоть где обмолвился о представимости аналитических функций комплексной переменной в виде линейной комбинации из двух аналитических функций от одной вещественной переменной каждая? Я говорил о взаимнооднозначном отображении множества аналитических функций комплексной переменной и множества пар функций одной вещественной переменной. То, что при использовании обычных базисов представимость через однопараметрические функции не достигается - я совершенно согласен. Такое возможно лишь при переходе к мнимому базису на комплексной плоскости, а этот шаг, в свою очередь, действительно приводит к дополнительной комплексификации комплексной плоскости и к переходу от квадратичной метрики двумерного пространства к квадранарной четырехмерного пространства, связанного с алгеброй C+C.
Итак еще раз.. Я утверждал не о выражении произвольной аналитической функции комплексной переменной через линейную комбинацию двух аналитических функций одной вещественной переменной каждая, а о существовании взаимнооднозначной связи между соответствующими множествами. Против ТАКОГО утверждения есть возражения?

Руст в сообщении #300067 писал(а):

Я говорил, что при комплексификации получаются подалгебры, изоморфные к алгебре h аналитических функций, в этом смысле я говорил, что вашу идею понял, но вы ошибаетесь. Речь идет об алгебре голоморфных функций. Вообще этот вопрос очень принципиальный и требует расписать пояснения на несколько страниц, чтобы стало понятным для не математиков.

Хоть я и не математик, но мне и так вполне понятна структура h-аналитических функций имеющихся на комплексифицированном множестве двойных чисел и даже более общего вида. Кроме того, тут уже многое сделано Григорием Ивановичем. Вполне допускаю, что не совсем привычным для математиков языком (так как он физик-теоретик), но - сделано. Конечно, дополнительные разъяснения, особенно для нематематиков будут весьма полезны и я двумя руками "За" подобные пояснения..

Руст в сообщении #300067 писал(а):

спросите у него, если иронизировать, то только над не знанием простых математических вещей.

Хорошо, давайте попробуем поступить иначе. Про наличие шестипараметрической группы Лоренца в качестве подгруппы внутри комплексифицированной группы конформных преобразований пространства с четырехмерной метрикой Бервальда-Моора любой грамотный математик знал задолго до доказательства этого факта Гарасько. Однако Григорий Иванович еще не доказал наличия в той же комплексифицированной конформной группе - группы Пуанкаре, а также пятнадцатипараметрической конформной группы пространства Минковского. Если Ваши "простые математические вещи" позволяют сделать хоть какие-то однозначные утверждения в отношении наличия или отсутствия этих двух групп в комплексифицированной конформной группе пространства $H_4$ - признаю, что иронизировал Гарасько зря. Ну, а если, вдруг, покажите тоже самое в отношении групп SU(2) и SU(3) (не обязательно внутри конформной группы, можно и внутри связанной с тринглами или их обобщениями) - обязуюсь учредить специальную премию и присудить ее именно Вам.

Руст в сообщении #300067 писал(а):

С точки зрения алгебры его алгебра Ли является простейшей простой алгебой $sl_2(C)$ которое содержится в качестве подалгебры и в любых $sl_n(C)$ и было бы удивительным если бы она не содержалась в качестве подалгебры в комплексифицированной бесконечномерной алгебре Ли конформных преобразований. На сколько я понял, это дошло до Григорий Ивановича, и тогда он сказал эту фразу.

Ну, тогда, возможно, и до меня скоро дойдет. Поясните, пожалуйста, каким образом доказывается, что шестипараметрическая группа Лоренца является группой симметрий алгебры $sl_2(C)$? И можно ли тоже самое сказать в отношении десятипараметрической группы Пуанкаре и пятнадцатипараметрической конформной группы пространства Минковского? Также мне не понятна связь между комплексифицированной конформной группой четырехмерного пространства с метрикой Бервальда-Моора и алгеброй $sl_2(C)$. Это можно пояснить в нескольких предложениях или абзацах?

[Руст]

Цитата:

Я утверждал не о выражении произвольной аналитической функции комплексной переменной через линейную комбинацию двух аналитических функций одной вещественной переменной каждая, а о существовании взаимнооднозначной связи между соответствующими множествами. Против ТАКОГО утверждения есть возражения?

Если множества равномощные бесконечные X,Y, то пары $(X,Y)$ так же равномощны исходным, т.е. вы могли бы взаимно-однозначное соответствие указать и не парой а одной функцией или просто одним числом из интервала [0,1] (так как рассматриваемые множества континиуальны). Когда $X,Y$ векторные пространства, можно это соответствие с одной функцией вместе двух сделать и линейным. Т.е. просто взаимно однозначное соответствие никого не интересует.

Цитата:

Хорошо, давайте попробуем поступить иначе. Про наличие шестипараметрической группы Лоренца в качестве подгруппы внутри комплексифицированной группы конформных преобразований пространства с четырехмерной метрикой Бервальда-Моора любой грамотный математик знал задолго до доказательства этого факта Гарасько. Однако Григорий Иванович еще не доказал наличия в той же комплексифицированной конформной группе - группы Пуанкаре, а также пятнадцатипараметрической конформной группы пространства Минковского. Если Ваши "простые математические вещи" позволяют сделать хоть какие-то однозначные утверждения в отношении наличия или отсутствия этих двух групп в комплексифицированной конформной группе пространства $H_4$ - признаю, что иронизировал Гарасько зря. Ну, а если, вдруг, покажите тоже самое в отношении групп SU(2) и SU(3) (не обязательно внутри конформной группы, можно и внутри связанной с тринглами или их обобщениями) - обязуюсь учредить специальную премию и присудить ее именно Вам.

Соответствие имеется и показано на уровне подалгебр Ли. На уровне групп они могут и не быть.

Цитата:

Ну, тогда, возможно, и до меня скоро дойдет. Поясните, пожалуйста, каким образом доказывается, что шестипараметрическая группа Лоренца является группой симметрий алгебры $sl_2(C)$?

В любом учебнике этот вопрос освещен.

[Time]

Руст в сообщении #301866 писал(а):

Если множества равномощные бесконечные X,Y, то пары так же равномощны исходным, т.е. вы могли бы взаимно-однозначное соответствие указать и не парой а одной функцией или просто одним числом из интервала [0,1] (так как рассматриваемые множества континиуальны). Когда векторные пространства, можно это соответствие с одной функцией вместе двух сделать и линейным. Т.е. просто взаимно однозначное соответствие никого не интересует.

Ну, не интересует - так не интересует. Хотя странно это.. Ведь эти две функции от одной переменной каждая - точь в точь такие же, как для соответствующей функции двойной переменной, то есть такой, которая формально получается из $F(z)$, когда в той комплексная переменная $z$ заменяется на двойную переменную $h_2$, то есть, получается $F(h_2)$. И разложения в бесконечные степенные ряды у них одно и тоже..

Руст в сообщении #301866 писал(а):

Соответствие имеется и показано на уровне подалгебр Ли. На уровне групп они могут и не быть.

Короче, на счет групп Пуанкаре и пятнадцатипараметрической конформной как предположительных подгрупп комплексифицированной группы конформных преобразований пространства $H_4$ Вы сейчас ничего содержательного сказать не можете.. Странно, что на счет группы Лоренца Вы так уверенно говорили, что это очевидно..

Руст в сообщении #301866 писал(а):

В любом учебнике этот вопрос освещен.

В учебниках много чего освещено. Я просил Вас об этом рассказать. Но раз тяжело, не имею права настаивать.

[Руст]

Цитата:

Короче, на счет групп Пуанкаре и пятнадцатипараметрической конформной как предположительных подгрупп комплексифицированной группы конформных преобразований пространства $H_4$ Вы сейчас ничего содержательного сказать не можете.. Странно, что на счет группы Лоренца Вы так уверенно говорили, что это очевидно..

Я говорил об алгебрах Ли. С изоморфизмами групп могут возникнут проблемы.

Цитата:

В учебниках много чего освещено. Я просил Вас об этом рассказать. Но раз тяжело, не имею права настаивать.

Зачем переписывать на форуме то, что прекрасно написано в учебниках не только в математических, но и в физических.

[Time]

Руст в сообщении #302063 писал(а):

Я говорил об алгебрах Ли. С изоморфизмами групп могут возникнут проблемы.

Результат, Полученный Гарасько касался именно двух групп, а не алгебр. Поэтому я и спрашивал, каким образом связаны между собой алгебра $sl_2(C)$, шестипараметрическая группа Лоренца и бесконечнопараметрическая комплексифицированная конформная группа четырехмерного линейного финслерова пространства с метрикой Бервальда-Моора? Боюсь, что информацию об этом в учебниках мне придется искать несколько дней, если вообще я ее там найду..
Пожалуйста, ответьте хотя бы в общих словах.

[Time]

У меня появилась версия причин взаимного непонимания Гарасько и Вас. Он говорил об обнаруженной им связи группы Лоренца и группы конформных преобразований пространства связанного с алгеброй гиперкомплексных чисел $H_4(C)$, которая может рассматриваться не только как четырехмерная комплексная алгебра, но и как восьмимерная вещественная. Вы же говорили об общеизвестной связи группы Лоренца (или соответствующей ей алгебре $so(1,3)$) и алгебры Ли $sl(2,C)$. Ни алгебра $so(1,3)$, ни алгебра $sl(2,C)$ алгебрами гиперкомплексных чисел не являются. Более того, мне совершенно непонятно как можно для них говорить о связанных с ними группах конформных преобразований. А для алгебр $H_4(R)$ и $H_4(C)$ - можно, так как им соответствуют линейные финслеровы пространства, в которых кроме понятия расстояния (интервала) и его инвариантности вполне естественно вводится понятие угла и связанных с его инвариантностью преобразований.
То есть, Вы с Гарасько говорили о ПРИНЦИПИАЛЬНО РАЗНЫХ алгебрах и связанных с ними метрических свойствах. Если это так, то Ваше утверждение об очевидности для математиков результата Гарасько, мягко говоря, не соответствует положению вещей. Гарасько вообще не рассматривал алгебр $sl(n,C)$ и ни он, ни я не представляем как их можно было бы связать с алгеброй $H_4(C)$.

[Руст]

Речь идет о принадлежности как подалгебры Ли алгебры $sl_2(C)$ в комплексификацию алгебры конформных преобразований $H_4$.

[Time]

То есть, Вы уверены в том, что алгебра $sl(2,C)$ является подалгеброй алгебры конформных преобразований $H_4(C)$? Но подобные утверждения требуют доказательств. Оно у Вас есть?

[Yarkin]

Time в сообщении #299280 писал(а):

Мы доказываем, что двойные числа, в отличие от кватернионов и октав, Числами как раз являются. Тогда они оказываются среди остальных классов Чисел и занимают место не перед или за комплексными, а "параллельно" им

После действительных чисел, должны идти гиперболические, потом комплексные, являющиеся третьей ступенькой. Но математики не заметили, как перешагнули вторую. Исправлять ошибки - самое тяжелое занятие. Тем более, что возведение гиперболических чиел в ранг равноправных связано с отменой понятия арифметического и алгебраического значения корня.