Интерполяция/аппроксимация неявно заданым полиномом

[ruslan441]

Доброго времени суток всем.
У меня возникла следующая проблема:
На плоскости задан набор точек. Через них (или максимально приближенно к ним) нужно провести замкнутую кривую так, чтобы оказалась ограниченной некоторая область. Следовательно, уравнение кривой должно быть неявным. Кроме того, крива должна быть алгебраической.
Вопросы:
1) как выбрать степень полинома?
---- в одной книге я вычитал, что любую замкнутую кривую можно сколь годно точно приблизить лемнискатой - эта кривая 4-го порядка. Там была ссылка на другую книгу, но в ней (другой) нет ничего по этом поводу.
2) в каком виде искать приближение?
---- если записать полином n-й степени с неопределенными коэффициентами, подставить точки, и выписать систему уравнений относительно коэффициентов, то такая система не всегда имеет решение и не всегда единственное.
Помогите, пожалуйста, или дайте где почитать.
Заранее всем спасибо.

[Padawan]

ruslan441 в сообщении #299801 писал(а):

в одной книге я вычитал, что любую замкнутую кривую можно сколь годно точно приблизить лемнискатой - эта кривая 4-го порядка.

Лемниската может иметь любой порядок. Лемниската - это геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до фиксированного конечного набора точек есть величина постоянная.
Т.е. пусть на плоскости даны точки $z_1,\ldots, z_n$ (фокусы лемнискаты). Тогда лемниската, определяемая этими точками имеет уравнение

$$|z-z_1|\cdot\ldots\cdot |z-z_n|=a,\quad (a>0)$$

Гильберт доказал, что лемнискатой можно равномерно приблизить любую жорданову кривую. Наверное, Вам надо найти доказательство и разобраться в нём.

[worm2]

ruslan441 писал(а):

На плоскости задан набор точек. Через них (или максимально приближенно к ним) нужно провести замкнутую кривую так, чтобы оказалась ограниченной некоторая область.

На всякий случай обращаю Ваше внимание на то, что, вообще говоря, необходимо также явно задать порядок, в котором кривая проходит точки (или близко к ним). Представьте себе, например, что точки расположены в целочисленных узлах квадрата 3x3 (9 штук). В этом случае порядок следования не очевиден.

[ruslan441]

Padawan в сообщении #299801 писал(а):

Лемниската может иметь любой порядок.

Да, согласен:)

Padawan в сообщении #299805 писал(а):

Гильберт доказал, что лемнискатой можно равномерно приблизить любую жорданову кривую

Вы, случайно, не знаете где можно почитать его, ибо теорем Гильберта(если она так называется) много и как искать - не представляю? Еще хотелось бы взглянуть на сам конструктивный путь приближения.

worm2 в сообщении #299941 писал(а):

На всякий случай обращаю Ваше внимание на то, что, вообще говоря, необходимо также явно задать порядок

Да. Это я понимаю. А по теме вопроса можете мне что-нибудь посоветовать?

[Алексей К.]

Определение, указанное в сообщении Padawanа, используется в статье
В. Л. Олейник. Метод приближения сильной связи на лемнискате.
Там цитируется и теорема Гильберта (1897), и есть ссылки на литературу [6,12,13].

Возможно, это ещё ближе к делу.

[ruslan441]

А можно как нибуть еще интеполировать, кроме как лемнискатами?

[Алексей К.]

5 минут назад, канал Россия, фильм "В Париж!".

Сын, униженный хулиганами, разговаривает с отцом, токарем-фрезеровщиком.
--- Батя, а сделай мне пистолет.
--- Хорошо. Тебе какой? Вальтер или Кольт? Браунинг или ТТ?

Ой, реклама кончилась, посмотрю дальше.

-- 21 мар 2010, 22:13 --

Кубические сплайны.
Сплайны более высоких и более низких степеней.
Окружностные сплайны (circular splines).
Спиральные сплайны.
Рациональные сплайны.
Бывают, оказывается, аппроксимационные сплайны.

Люди также бают про Лагранжа, Чебышёва и Нурбса.
Хотя, скорее всего, NURBS здесь совсем не в тему.

-- 21 мар 2010, 22:42 --

Re: Интерполяция/аппроксимация неявно заданым полиномом

А, кстати, лемнискатный полином (Padawan's в квадрате) был задан явно.
А то, что было задано неявно --- оно никак не полином. Чисто о словоточности.