Функционалы, Хан - Банах

[ewert]

ShMaxG в сообщении #299869 писал(а):

ewert
Это я невольно воспользовался непрерывностью операторов $A$ и $B$. Без этого даже не знаю, как быть.

Нет, для существования оператора Вы непрерывностью не пользовались -- только линейностью. Непрерывностью же $A$ и $B$ Вы попытались воспользоваться для доказательства непрерывности $\Lambda$. Однако последнее утверждение неверно.

[id]

Цитата:

А верно ли, что если ядро линейного оператора замкнуто, то он непрерывен?

Если образ конечномерен, то верно.
Если нет, то вроде как не обязательно.

[Профессор Снэйп]

id в сообщении #299881 писал(а):

Если нет, то вроде как не обязательно.

А пример какой?

-- Сб мар 20, 2010 21:40:37 --

В частности, может ли оператор с нулевым ядром быть разрывным?

А, ну да, конечно... Две неэквивалентные нормы и тождественное отображение. Вопрос снимается

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #299875 писал(а):

А верно ли, что если ядро линейного оператора замкнуто, то он непрерывен?

Нет, конечно. Возьмите, например, неограниченный оператор с тривиальным ядром, действующим внутри некоторого подвпространства, и силком доопределите его как ноль на ортогональном дополнении к этому подпространству.

(Верно обратное).

[ShMaxG]

ewert
Вы хотите сказать, что $\Lambda$ - не является непрерывным? По-крайней мере при тех предположениях, что предложил terminator-II?

[ewert]

ShMaxG в сообщении #299904 писал(а):

ewert
Вы хотите сказать, что $\Lambda$ - не является непрерывным? По-крайней мере при тех предположениях, что предложил terminator-II?

terminator-II вообще никаких предположений, кроме линейности, не выдвигал. В этом случае о какой-либо непрерывности говорить просто не приходится. Но даже если предположить дополнительно, что пространства нормированы -- и пусть даже гильбертовы и что операторы $A$ и $B$ непрерывны -- даже при этих предположениях случае оператор $\Lambda$ быть непрерывным не обязан.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #299883 писал(а):

(Верно обратное).

Ну, это ваще очевидно