Оценка сверху для вероятности.

[Зангези]

Здравствуйте.
Пусть $\xi$ - непрерывная случайная величина, для которой существуют математическое ожидание $M\left[\xi\right] < \infty$ и дисперсия $D\left[\xi\right]<\infty$. Не подскажите литературу, где были бы представлены мажоранты, дающие оценки сверху для вероятности $P\left(\left|\xi-M\left[\xi\right] \right| \leqslant k \cdot \sigma \right)$, где $\sigma = \sqrt{D\left[\xi\right]}$ и $k > 0$?
Пытаюсь найти ответ в форме $P\left(\left|\xi-M\left[\xi\right] \right| \leqslant k \cdot \sigma \right) \leqslant f(k)$.
То, что удалось получить самому, мне не подходит.
Хотелось бы увидеть что-то, похожее на неравенство Чебышева $P\left(\left|\xi-M\left[\xi\right] \right| \leqslant k \cdot \sigma \right) \geqslant 1 - \frac{1}{k^2}$, дающее оценку снизу, или какое-нибудь его усиление.
Был бы благодарен за любую ссылку.

[Хорхе]

Нет никаких оценок сверху, к сожалению. Рассмотрите пример $P(\xi=n) = 1-P(\xi=0) = \frac{1}{n}$.

[Зангези]

Хорхе в сообщении #298670 писал(а):

Нет никаких оценок сверху, к сожалению. Рассмотрите пример $P(\xi=n) = 1-P(\xi=0) = \frac{1}{n}$.

Простите, Хорхе, я Вашего примера не понял. Можете, пожалуйста, пояснить? Вы, кажется, пишите про дискретную случайную величину. Если $\xi$ - непрерывная случайная величина, то $P\left(\xi = n\right) = P\left(\xi = 0\right) = 0$. Потом оценки сверху всё-таки могут быть даны. Например, такая, если я нигде не ошибся: $P\left(\left|\xi-M\left[\xi\right] \right| \leqslant k \cdot \sigma \right) \leqslant min \left( 1, c+\Phi(k)\right) - max(c-\Phi(k), 0)$, где $\Phi(x)$ - функция Лапласа, $c$ - некоторая константа.

[ewert]

Зангези в сообщении #298963 писал(а):

Хорхе в сообщении #298670 писал(а):

Нет никаких оценок сверху, к сожалению. Рассмотрите пример $P(\xi=n) = 1-P(\xi=0) = \frac{1}{n}$.

Простите, Хорхе, я Вашего примера не понял. Можете, пожалуйста, пояснить? Вы, кажется, пишите про дискретную случайную величину. Если $\xi$ - непрерывная случайная величина, то

то ничего не изменится: дискретную величину можно сколь угодно точно приблизить по вероятности непрерывной.

В этом примере матожидание равно единице, а $\sigma=\sqrt{n-1}$. Поэтому при любом фиксированном $k$ будет
$P\left(\left|\xi-M\left[\xi\right] \right| \leqslant k \cdot \sigma \right) = P\left(\left|\xi-1\right| \leqslant k \cdot \sqrt{n-1} \right) = P\left(\xi=0 \right)=1-\dfrac{1}{n}\to1$ при $n\to\infty$.

Т.е. никакая оценка, кроме тривиального "вероятностьменьше единицы", невозможна.

[Зангези]

ewert в сообщении #298998 писал(а):

В этом примере матожидание равно единице, а $\sigma=\sqrt{n-1}$. Поэтому при любом фиксированном $k$ будет
$P\left(\left|\xi-M\left[\xi\right] \right| \leqslant k \cdot \sigma \right) = P\left(\left|\xi-1\right| \leqslant k \cdot \sqrt{n-1} \right) = P\left(\xi=0 \right)=1-\dfrac{1}{n}\to1$ при $n\to\infty$.
Т.е. никакая оценка, кроме тривиального "вероятностьменьше единицы", невозможна.

Всё, спасибо, теперь понял.
Извините, моя вина, я подразумевал, что $\xi$ - непрерывная случайная величина с унимодальным законом распределения плотности вероятности. С этих позиций Ваш пример и рассматривал. Оценка, приведенная мной выше, была получена при этих ограничениях.
Можно ли что-нибудь сказать при таких дополнительных условиях?

[ewert]

Хм, для унимодальных. Ну рассмотрите распределение Коши, для которого и матожидания толком-то не существует, а уж сигма точно равна бесконечности. Тогда эта вероятность всегда равна единице. Конечно, пример некорректен, но ведь распределение Коши всегда можно приблизить корректными.

[Зангези]

Спасибо, ewert, но Ваш пример условиям, накладываемым на $\xi$ в моём первом сообщении, не удовлетворяет.

Кроме того, нетривиальные оценки сверху, не являющиеся константой от $k$, для унимодальной $\xi$ всё-таки существуют. В частности: Бхаттачария и Рао доказали, что если $F_{\xi} (x)$ - функция распределения непрерывной случайной величины $\xi$ при том, что математическое ожидание $M\left[\xi\right] = 0$ и дисперсия $D\left[\xi\right]= 1$, и если $\Phi(x)$ - функция распределения стандартной нормальной величины, то $sup \left| F_{\xi}(x) - \Phi(x)\right| \leqslant 0.5416$.

Собственно этот результат я уже приводил. Подозреваю, что есть более глубокие результаты в этом вопросе. Что-либо дельное найти на просторах Internet'а и в доступной мне литературе не удалось. Поэтому обращаюсь за помощью к форумчанам.

[Хорхе]

Зангези, прочитайте внимательно, что написал ewert и что написали Вы. То, что написано в последнем Вашем посте, не имеет никакого отношения к предыдущему, а пример, предложенный ewertом, удовлетворяет условиям непрерывности и унимодальности.

[ewert]

Зангези в сообщении #299479 писал(а):

Спасибо, ewert, но Ваш пример условиям, накладываемым на $\xi$ в моём первом сообщении, не удовлетворяет.

А я и сам сказал, что пример формально некорректен. Но и что он легко исправляется. Срежьте распределение Коши на конечный промежуток, т.е. рассмотрите плотность $f(x)=\dfrac{N_R}{1+x^2}$ на отрезке $[-R;R]$ и равную нулю вне его. Тогда нормировочный множитель $N_R\to\mathrm{const}$ при $R\to+\infty$. Сигма при этом предельном переходе, естественно, уходит в бесконечность. По совокупности получаем $P\big(|\xi|<k\cdot\sigma(R)\big)\to 1$ для любого $k>0$.

[Зангези]

Спасибо, Хорхе и ewert. С Вашими замечаниями согласен. За примеры отдельное спасибо.

Хотел бы задать ещё один вопрос, правда, имеющий к исходной теме весьма далёкое отношение. Пусть $\xi$ и $\eta$ - независимые непрерывные унимодальные случайные величины с существующими математическими ожиданиями $M\left[\xi\right]=M\left[\eta\right]=0$ и конечными дисперсиями. Пусть $\xi$ и $\eta$ имеют симметричные функции распределения $F_{\xi}(x)$ и $F_{\eta}(x)$. Можно ли как-нибудь оценить сверху и снизу величину $k(y) = \frac{ F_{\xi + \eta}^{-1} (y)}{\sqrt{\left(F_{\xi}^{-1}(y)\right)^2 + \left(F_{\eta}^{-1}(y)\right)^2}}$, где в числителе стоит функция, обратная функции распределения суммы $\xi + \eta$, функции $F_{\xi}^{-1}(x)$ и $F_{\eta}^{-1}(x)$ - обратные к функциям распределения $\xi$ и $\eta$, $y > 0.5$? В особенности интересует интервал $[0.80, 0.95]$ для значений $y$.