Критерий полной управляемости

[id]

Пусть $P(\cdot) \in \mathbb{R}^{n^2}, X(\cdot),Q(\cdot),F(\cdot) \in \mathbb{R}^n, u(\cdot)$ - скалярное управление системы $X'(t) = P(t)X(t) + Q(t)u(t)+F(t)$. Будем считать, что $P,Q$ дифференциируемы достаточное число раз.
Надо показать, что система будет полностью управляема на $[0,M]$ при выполнении условия:
$\exists \tau \in [0,M]: rank(K(\tau)) = n$, где $K(t) = (K_1(t),K_2(t),\dots,K_n(t))$;
$K_1(t)=Q(t)$,$K_{i+1}(t) = K_i '(t) - P(t)K_i(t)$

Собственно, идей маловато, только сделать замену координат постоянной матрицей $K(\tau)$, но какой от этого толк?
Поэтому интересует
а) Как решить задачу
б) Ссылки на соотв. доступную в Сети литературу, математического (а не инжереного) направления по теме.

[V.V.]

И.В. Гайшун. "Введение в теорию линейных нестационарных систем".

[id]

А оно в Сети есть?
Что-то не могу сразу найти.

[id]

Вопрос все еще стоит(а рекомендуемого Гайшуна пока что тоже не нашел). Управление $u(t)$ можно считать скалярным.

Так как $K(\tau)$ не вырождена, то она невырождена в некоторой окрестности $\tau$. Посмотрим хотя бы, как оно ведет себя в этой окрестности.

Сделаем замену $X(t) = K(t)W(t)$, подставим.
Получим
$\dot K(t)W(t)+K(t) \dot W(t) = P(t)K(t)W(t)+Q(t)u(t) + F(t) \Rightarrow $ $K(t) \dot W(t) = -(\dot K(t) - P(t)K(t))W(t) + Q(t)u(t)+F(t)$.
Умножим на обратную (получив уравнение в той окрестности $\tau$, где она обратима), получим $\dot W(t) = -K^{-1}(t)[\dot K(t) - P(t)K(t)]W(t) + K^{-1}(t)Q(t)u(t)+K^{-1}(t)F(t)$.

Матрица $\dot K(t) - P(t)K(t)$ имеет вид $(K_2(t),K_3(t), \dots, K_n(t),\dot K_n(t)-P(t)K_n(t))$, значит произведение $A(t) = K^{-1}(t)[\dot K(t) - P(t)K(t)]$ имеет весьма особый вид, для первых $n-1$ столцов нули всюду, кроме линии под главной диагональю(где стоят единиы) в последнем столбце - коэффициенты вектора $K^{-1}(t)(K_n(t)-P(t)K_n(t))$, зависящие от $t$.

Отсюда, видимо, уже можно вывести полную управляемость на интервале невырожденности достаточно прозрачно, но пока что не знаю как. (Вопрос - это, кажется, один из известных критериев. Где бы посмотреть?)

Так или иначе, непонятно что делать вне интервала невырожденности. Может быть, нужно записать какой-то диффур на матрицу $K(t)$, из свойств решения которого будет следовать невырожденность всюду?

[id]

После гугления нашел статью Л.Е.Забелло "К вопросу об управляемости нестационарных систем", где данная лемма постулируется как Теорема 1.1, причем за доказательством автор отсылает к книге ( ) Красновский, "Теория управления движением".

Уж не знает ли кто, на что именно ссылается автор? Подобного утверждения, увы, все-таки не могу там найти.

-- Ср мар 24, 2010 02:05:25 --

А, нет, нашел. Попробую разобраться.

[id]

Почитал; однако преподаватель все-таки предлагает искать более короткое решение.

Например, из самого определения матрицы $K(t)$ мы имеем систему диффуров на векторы-столбцы $\dot K_{i}(t) = K_{i+1}(t) + P(t)K_i(t)$.
Если бы удалось из (этой?) системы представить столбцы как решения некоторого диффура вида $\dot x(t) = A(t)x(t)$, где $A$- матрица, $x$ - вектор, то, используя результат о вронскиане, получили бы невырожденность $K(t)$ всюду на отрезке.

Возможно ли это?