Вопрос по топологии

[Padawan]

Пусть $Y$ - топологическое пространство и $C\subset Y$ - его подмножество. Всегда ли найдется топологическое пространство $Z$ и пара непрерывных отображений $\xymatrix{Y\ar@<0.5ex>^\varphi[r]\ar@<-0.5ex>_\psi[r]&Z}$, что $C=\{y\in Y: \varphi(y)=\psi(y)\}$.

Аналогичный вопрос для хаусдорфовых $Y$, $Z$ и замкнутого $C\subset Y$.

[fiktor]

Да. Достаточно рассмотреть $Z=\left. (Y\times\{0,1\})\middle/ \{(c,0)\sim(c,1)\}_{c\in C}\right.$.
Стандартную проекцию $Y\times\{0,1\} \to Z$ обозначим через $p$, вложения $Y$ в $Y\times\{0,1\}$ через $i_0$ и $i_1$.
Интересующие Вас отображения имеют вид

$$\varphi=p\circ i_0,\qquad \psi=p\circ i_1.$$

Проверьте, подходят ли такие отображения для Вашего второго вопроса.

(Оффтоп)

Заодно подскажите, как бы Вы записали первую строчку моего сообщения. Мне это будет полезно.

[Padawan]

Спасибо! Так бы и записал, либо $Z=\left. (Y\times\{0,1\})\middle/ \{(C,0)\sim(C,1)\}\right.$. Либо просто сказал, что два экземпляра $Y$ склеены по $C$.

[Руст]

Чушь все это.
Если $Z$ является $T_1$ пространством, то диагональ в $Z*Z$ является замкнутым, соответственно $C$ как прообраз диагонали при непрерывном отображении $(\phi ,\varphi ):Y\to Z*Z$ должен быть замкнутым.

[Padawan]

Ну так в первой части вопроса $Z$ и не предпорлагалось $T_1$. Оно им и не будет в примере.

А если $Z$ $T_2$, то я и ограничиваюсь замкнутыми $C$.

[Padawan]

Руст в сообщении #299022 писал(а):

Если $Z$ является $T_1$ пространством, то диагональ в $Z*Z$ является замкнутым

Это неправильно, кстати. Для замкнутости диагонали необходимо и достаточно, чтобы $Z$ было $T_2$-пространством, т.е. хаусдорфовым.

А в примере fiktor-а $Z$ будет $T_1$, если $Y$ $T_1$.

[Руст]

Признаю ошибку. Замкнутость диагонали эквивалентно $T_2$, соответственно необходимость замкнутости для С доказывается только для Хаусдорфовых пространств.