Интересный ответ задачи x=sinx.

[Vadim Shlovikov]

Рассматривая примеры решений задач, в которых есть тригонометрические и обратные тригонометрические функции, мне удалось решить задачу $x= sin x$ и ответ её интересен.
Итак, решить $x= sinx$.
Решение:
$ x= sinx $ (1)
$ arcsinx=x $ (2)
(2) ставим в (1), но только в функцию синус
$ x=sin(arcsinx) $
$ x=x$
$ 0=0$
Где ошибка?

[ewert]

А я тоже так могу.

Решаем систему:

$$\begin{cases}x=1;\\x=1.\end{cases}$$

Вычитаем из первого уравнения второе. Получаем тождество: $0=0$. Т.е. $x$ -- любое. Где я ошибся?...

[Vadim Shlovikov]

ewert в сообщении #298642 писал(а):

А я тоже так могу.

Решаем систему:

$$\begin{cases}x=1;\\x=1.\end{cases}$$

Вычитаем из первого уравнения второе. Получаем тождество: $0=0$. Т.е. $x$ -- любое. Где я ошибся?...

В приведённом Вами примере один ответ, в приведённом же мною примере бесконечное множество ответов.

[ewert]

Vadim Shlovikov в сообщении #298647 писал(а):

в приведённом же мною примере бесконечное множество ответов.

Вы имеете в виду Вашу версию ответа -- или правильную?...

[mitia87]

Так уж и бесконечно много.

[Vadim Shlovikov]

ewert в сообщении #298654 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #298647 писал(а):

в приведённом же мною примере бесконечное множество ответов.

Вы имеете в виду Вашу версию ответа -- или правильную?...

Да, я имею ввиду свою версию ответа решения уравнения $x=sinx$, но эта версия основывается на правильных рассуждениях, хоть полученный ответ не соответствует действительности.

mitia87 в сообщении #298655 писал(а):

Так уж и бесконечно много.

Да, много.

[gris]

Вы пользуетесь неравносильным преобразованием, которое приводит к появлению лишних корней.

Среди множества корней уравнения $x=x$ есть и корень исходного уравнения $x_0=1$, так что ничего ужасного не произошло.

Лишние корни не так страшны, как потеря корней. Их обычно устраняют непосредственной подстановкой.

[ewert]

mitia87 в сообщении #298655 писал(а):

Так уж и бесконечно много.

Нет, их действительно бесконечно много (если комплексных). Но Vadim Shlovikov умудрился найти ещё больше...

[gris]

Пример:
$\sqrt x=2$
$x^2=16$
$x=\pm4$
$\sqrt 4=2\,\,$- верное равенство, поэтому $x=2$ корень.
$\sqrt {-4}\,\,$-не существует, поэтому $x=-2$ посторонний корень.

В Вашем случае
$0=\sin 0$ - корень
$0,01\neq\sin0,01$ - посторонний
$0,02\neq\sin0,02$ - посторонний. Ну и так далее.


Пользоваться неравносильными преобразованиями грешно.

[Vadim Shlovikov]

gris в сообщении #298677 писал(а):

Пример:
$\sqrt x=2$
$x^2=4$
$x=\pm4$
$\sqrt 4=2\,\,$- верное равенство, поэтому $x=2$ корень.
$\sqrt {-4}\,\,$-не существует, поэтому $x=-2$ посторонний корень.

В Вашем случае
$0=\sin 0$ - корень
$0,01\neq\sin0,01$ - посторонний
$0,02\neq\sin0,02$ - посторонний. Ну и так далее.


Пользоваться неравносильными преобразованиями грешно.

В общем, к какому выводу мы приходим, ничего не остаётся для приемлемого решения уравнения $x=sinx$, кроме как разложить функцию $y=sinx$ по формуле Тэйлора, а затем продолжить решение, но это будет выходить за пределы алгебры и относиться к курсу высшей математики.

[fer1800]

Решение x=0.
Но этого не достаточно. Надо показать, что решение всего одно.

рассмотрим функцию y=x-sinx.
В точке x=0, y=0
далее y'=1-cosx>=0.
Т.е. при x>0 (x<0) функция будет всё время возрастать.

[Профессор Снэйп]

Vadim Shlovikov в сообщении #298633 писал(а):

Где ошибка?

Вы доказали, что если для некоторого $x$ справедливо $x = \sin x$, то для этого же $x$ выполнено равенство $x = x$. Ну и что? Из $x = \sin x \Rightarrow x = x$ не следует $x = x \Rightarrow x = \sin x$.

[meduza]

(Оффтоп)

Ещё учась в школе, в каком-то номере Кванта прочитал и запомнил навсегда: решение уравнения должно выглядеть как доказательство теоремы о том, что оно имеет такие-то корни и не имеет никаких других, и всегда нужно явно писать осуществляемые переходы: $\Leftarrow, \Rightarrow, \Leftrightarrow$ (а не ограничиваться простой запятой или переносом строки). Тогда подобных проблем не возникает.

[Vadim Shlovikov]

fer1800 в сообщении #298741 писал(а):

Решение x=0.
Но этого не достаточно. Надо показать, что решение всего одно.

рассмотрим функцию y=x-sinx.
В точке x=0, y=0
далее y'=1-cosx>=0.
Т.е. при x>0 (x<0) функция будет всё время возрастать.

Правильно.

-- 18 мар 2010, 14:34 --

Профессор Снэйп в сообщении #298972 писал(а):

Vadim Shlovikov в сообщении #298633 писал(а):

Где ошибка?

Вы доказали, что если для некоторого $x$ справедливо $x = \sin x$, то для этого же $x$ выполнено равенство $x = x$. Ну и что? Из $x = \sin x \Rightarrow x = x$ не следует $x = x \Rightarrow x = \sin x$.

Необходимо установить, откуда получается ошибка. Укажите конкретное место откуда, почему взялась ошибка и как её впредь избежать.

[sergey1]

Цитата:

Необходимо установить, откуда получается ошибка. Укажите конкретное место откуда, почему взялась ошибка

Вам же уже ответили - не произведен отбор корней

Цитата:

как её впредь избежать.

Провести отбор корней.