Как доказать,что всякое конечное тело является полем?

[ellipse]

Как доказать,что всякое конечное тело является полем?

[bot]

Это (малая) теорема Веддербёрна.
Более того, мультипликативная группа конечного тела циклическая.

[Профессор Снэйп]

bot в сообщении #298884 писал(а):

Более того, мультипликативная группа конечного тела циклическая.

А почему "более того"?

Вообще, цикличность мультипликативной группы есть прямое следствие теоремы Веддербёрна (конечная мультипликативная подгруппа поля циклична). Сама же теорема Веддербёрна, насколько я помню, доказывается не так просто. У меня она на сдаче кандминимума была, посему в памяти отложилось, что доказательство довольно объёмное. Самого же доказательства уже не помню

[bot]

Осознал, что плохо выразился и зашёл исправить, а Вы уж тут.

Я хотел сказать, что можно так и доказывать - мультипликтивная группа конечного тела циклическая. Доказательство не очень сложное - на пол-странички.

[ellipse]

bot писал(а):

Я хотел сказать, что можно так и доказывать - мультипликтивная группа конечного тела циклическая. Доказательство не очень сложное - на пол-странички.

Да я знаю что это теорема Веддербёрна. Смотрел Шафаревича, там только формулировка. Подскажите хоть с чего начать док-во, желательно элементарное, потому что это задача на дом.

[bot]

Ну нифигасе - на дом! В рамках какого курса задачу дали - чем пользоваться можно?
Упомянутое мной доказательство использует минимум средств, но не так, чтобы совсем с нуля.
Например, предполагается известными теорема Лагранжа из теории групп и свойства функции Эйлера.
Начинается это док-во так. Пусть $G$ - конечная подгруппа в мультипликативной группе тела и $m=|G|$.
Далее для любого, делящего $m$ рассматриваем корни двучлена $x^n-1$ и разбиваем эти корни (они все лежат в $G$) множество корней на классы в зависимости от порядка корня как элемента группы $G$. Далее работаем с функцией Эйлера и получаем, что число элементов порядка $m$ в группе $G$ равно $\varphi (m)$. В частности элементы порядка $m$ в $G$ есть и поэтому она циклическая.

[Профессор Снэйп]

Я думаю, что это задание на дом реферативного плана. Типа найти доказательство в книжке и разобраться в нём. Естественно, не самому доказать "с нуля"

Через Вики нашёл вот такую ссылку на доказательство. Правда, на аглицком. Но думаю, что раз уж дошли до теоремы Веддербёрна, то математический аглицкий худо-бедно должны понимать

-- Чт мар 18, 2010 12:17:04 --

Если всё же не понятно, вечерком могу перевести. Сейчас некогда

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #298909 писал(а):

Через Вики нашёл вот такую ссылку на доказательство.

Кажется я проморгал. Если одно место честно расписывать (в условиях, когда коммутативность ещё только доказывается) - длиннее, чем по ссылке получится.

[Профессор Снэйп]

Какое именно место?

Меня сначала в ступор ввело, что из $xy = yx$ следует $xy^{-1} = y^{-1}x$. Но вроде у тела множество ненулевых элементов является группой по умножению, так что $y^{-1}xy = y^{-1}yx = x = xy^{-1}y$, домножая это равенства справа на $y^{-1}$, получаем требуемое.

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #298921 писал(а):

Какое именно место?

Выделение линейного множителя для полиномов (коэффициенты пишем слева) над телом не работает. Как просто показать, что число корней не превосходит степени?

[Профессор Снэйп]

bot в сообщении #298953 писал(а):

Выделение линейного множителя для полиномов (коэффициенты пишем слева) над телом не работает. Как просто показать, что число корней не превосходит степени?

А где там этот момент? Процитируйте, пожалуйста.

[bot]

Так я и думал, что Вы не поняли, что это я о своём - по ссылке этого места нет.

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

bot в сообщении #298974 писал(а):

Так я и думал, что Вы не поняли, что это я о своём - по ссылке этого места нет.

Ну да, я не телепат А из текста сообщений понять, что Вы о своём, невозможно.

[bot]

(Оффтоп)

Возможно - я же писал, что длиннее чем по ссылке получится. Надо было конечно написать, что это у меня длиннее получится (если вообще получится)

[Xaositect]

А в ван дер Вардене нет дказательства?