Как решить такую простую систему без калькулятора?

[invisible1]

$ \left\{ \begin{array}{l} x+\sqrt 7 < \sqrt 3 \\ x+\sqrt 6 < \sqrt 2 \\ \end{array} \right $

Числа т.е. нужно выяснить, какое из этих чисел меньше $\sqrt 3 - \sqrt 7$ vs. $\sqrt 2 - \sqrt 6$

Вообще, есть ли какой способ вычисления корней типа $\sqrt 7$ без калькулятора?)

[gris]

Для этого не нужно вычислять корень, хотя такой способ есть. нужно разности возводить в квадрат.

[meduza]

gris в сообщении #298460 писал(а):

нужно разности возводить в квадрат.

... и не зыбать, что в обоих частях отрицательные числа.

[invisible1]

Возведение в квадрат не упростило дело!!
$(\sqrt 3 -\sqrt7)^2=10-2\sqrt 21 \approx 10-9=1$
$(\sqrt 2 - \sqrt 6)^2 = 8 - 2\sqrt 12 \approx 8-7=1$

[RIP]

В данном случае можно проще (и, видимо, так и задумано): надо просто "избавиться от иррациональности в числителе". Т.е. $\sqrt a-\sqrt b=\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}$.

-- Ср 17.3.2010 00:51:02 --

invisible1 в сообщении #298462 писал(а):

Возведение в квадрат не упростило дело!!

На самом деле упростило: количество значков корня уменьшилось.

Вообще, общий метод такой (поясню на простом примере). Выясним, что больше: $\sqrt2+\sqrt3$ или $3$. Пишем
$\sqrt2+\sqrt3\vee3$.
Здесь $\vee$ --- это $<$, $=$ или $>$. Какой он на самом деле, мы пока не знаем. Далее над этим "неравенством" делаются преобразования, чтобы привести его к эквивалентному "неравенству", которое уже будет очевидным. При этом надо не забывать, что в некоторых ситуациях (например, если мы умножаем на отрицательное число) знак неравенства надо менять, поэтому в таких случаях знак $\vee$ меняют на "противоположный" $\wedge$. Так, если очень захотеть (но мы не будем этого хотеть), наше неравенство можно переписать в виде $3\wedge\sqrt2+\sqrt3$. Здесь напрашивается возведение в квадрат (заметьте, что оба числа положительны):
$(\sqrt2+\sqrt3)^2\vee3^2$,
$5+2\sqrt6\vee9$
$\sqrt6\vee2$.
Из последнего неравенства видно, что $\vee$ --- это $>$, т.е. $\sqrt2+\sqrt3>3$.

[Alexey1]

invisible1 в сообщении #298462 писал(а):

Возведение в квадрат не упростило дело!!
$(\sqrt 3 -\sqrt7)^2=10-2\sqrt 21 \approx 10-9=1$
$(\sqrt 2 - \sqrt 6)^2 = 8 - 2\sqrt 12 \approx 8-7=1$

Почему же не упростило $(\sqrt3-\sqrt7)^2-(\sqrt2-\sqrt6)^2=10-2\sqrt{21} -(8-2\sqrt{12})=2-2(\sqrt{21}-\sqrt{12})<0$, так как $(\sqrt{21}-\sqrt{12})^2=33-2\sqrt{252}>1$, так как $\sqrt{256}=16$.

[bot]

RIP в сообщении #298463 писал(а):

В данном случае можно проще (и, видимо, так и задумано): надо просто "избавиться от иррациональности в числителе".

Думаю, что задумка была, хотя и равноценной, но ещё проще:

$\sqrt 3-\sqrt 7\, \, \vee \,\, \sqrt 2-\sqrt 6\, \Leftrightarrow \sqrt 3+\sqrt 6\,\, \vee \,\, \sqrt 2+\sqrt 7\, \Leftrightarrow (\sqrt 3+\sqrt 6)^2\,\, \vee \,\, (\sqrt 2+\sqrt 7)^2 \, \Leftrightarrow $

$\Leftrightarrow 3+6+2\cdot\sqrt{3\cdot 6}\,\, \vee \,\, 2+7+2\cdot\sqrt{2\cdot 7}\,\Leftrightarrow 3\cdot 6\,\, \vee \,\, 2\cdot 7\, \Leftrightarrow 18\,\,\vee\,\, 14$

В одном переходе следует учесть замечание

RIP в сообщении #298463 писал(а):

заметьте, что оба числа положительны

Итого, $\vee$ надо повернуть на $\pi/2$ против хода часовой стрелки.

PS. Я вместо $\vee$ обычно ставлю знак ?.

[Mitrius_Math]

invisible1 в сообщении #298459 писал(а):

...есть ли какой способ вычисления корней типа $\sqrt 7$ без калькулятора?)

В столбик, через дифференциал (но там необходима оценка погрешности), по формуле Маклорена.

[ewert]

bot в сообщении #298548 писал(а):

Я вместо $\vee$ обычно ставлю знак ?.

А есть ещё хорошие значки: $\gtrless$ и $\lessgtr$.

[Sonic86]

invisible1 писал(а):

Вообще, есть ли какой способ вычисления корней типа $\sqrt{7}$ без калькулятора?)

В случае квадратичных иррациональностей исключительно удобны непрерывные или цепные дроби. Надо уметь только делить одно натуральное число на другое и находить целую часть корня.

$$\sqrt{7}=2+(\sqrt{7}-2)=2+\frac{3}{4+(\sqrt{7}-2)}=2+\frac{3}{4+\frac{3}{4+\frac{3}{4+...}}}$$

[ewert]

Sonic86 в сообщении #298553 писал(а):

В случае квадратичных иррациональностей исключительно удобны непрерывные или цепные дроби.

А ещё исключительно удобнее -- метод Ньютона: $\sqrt m$ -- это предел последовательности $x_{k+1}=\dfrac{x_k}{2}+\dfrac{m}{2x_k}$. В качестве начального приближения лучше выбирать округление корня вверх. Например, $\sqrt7$ -- это:

3.00000000000000
2.66666666666667
2.64583333333333
2.64575131233596
2.64575131106459
2.64575131106459

-- и всё (в пределах машинной точности). Для сравнения -- цепные дроби:

2.00000000000000
2.75000000000000
2.63157894736842
2.64772727272727
2.64547677261614
2.64578947368421
2.64574600657075
2.64575204838080
. . . . . . . . . . . . . .

[Sonic86]

ewert писал(а):

А ещё исключительно удобнее -- метод Ньютона:

Ммм, кому как. Я этим методом Ньютона дальше 4-х приближений не залазил - надоедало 5-значные числа перемножать. А цепными дробями - там умножаешь на небольшое число, когда приводишь к обычной дроби. Хотя с другой стороны - да: у Ньютона страшная скорость сходимости типа $O(e^{-kx^2})$.

[ewert]

Sonic86 в сообщении #298574 писал(а):

Ммм, кому как. Я этим методом Ньютона дальше 4-х приближений не залазил - надоедало 5-значные числа перемножать.

А дальше и не нужно -- именно на четвёртой итерации (считая от нулевой) машинная точность и исчерпывается. И даже на третьей получается порядка восьми правильных знаков. А на второй, соответственно -- порядка четырёх. И не такие уж там и большие числа выходят. Скажем, для того же корня из семи первые три итерации (после тройки) -- это $\dfrac{8}{3}$, $\dfrac{127}{48}$ и $\dfrac{32257}{12192}$; вот последняя примерно восемь знаков и даёт.

Цепные же дроби дают те же четыре знака лишь на примерно четвёртом шаге.

Sonic86 в сообщении #298574 писал(а):

у Ньютона страшная скорость сходимости типа $O(e^{-kx^2})$.

Она гораздо страшнее -- типа $O(e^{-2^k})$.

[Sonic86]

(Оффтоп)

ewertЛадно-ладно, уговорили

[caxap]

Sonic86 в сообщении #298553 писал(а):

invisible1 писал(а):

Вообще, есть ли какой способ вычисления корней типа $\sqrt{7}$ без калькулятора?)

В случае квадратичных иррациональностей исключительно удобны непрерывные или цепные дроби. Надо уметь только делить одно натуральное число на другое и находить целую часть корня.

$$\sqrt{7}=2+(\sqrt{7}-2)=2+\frac{3}{4+(\sqrt{7}-2)}=2+\frac{3}{4+\frac{3}{4+\frac{3}{4+...}}}$$

Объясните пожалуйста на уровне школьника средних классов, как из $(\sqrt{7}-2)$ получить $\frac{3}{4+(\sqrt{7}-2)}$?