Площадь сферической поверхности

[Виктор Ширшов]

std13 в сообщении #285094 писал(а):

Как посчитать сферический круг?

В угловой мере, а потом в метрической.

[venco]

Решение.
Как я уже упоминал, радиус сферы примем за единицу, и для удобства вместо расстояния $D$ между центрами кругов возьмём половину этого расстояния $d=\frac D 2 \in [0,r]$.
Обозначим центр одного из кругов - $A$, одно из пересечений окружностей - $B$, и середину отрезка между центрами кругов - $C$.
Прямоугольный треугольник $ABC$ - четверть искомого ромба. Угол $C$ - прямой. Соответствующие стороны тругольника - $a$, $b=d$, $c=r$.
Из теоремы синусов $\frac {\sin B}{\sin b} = \frac {\sin C}{\sin c}$, значит

$$\sin B = \frac {\sin d}{\sin r}$$

Из теоремы пифагора $\cos c = \cos a \cos b$, поэтому

$$\cos a = \frac {\cos r}{\cos d}$$

$$\sin a = \frac {\sqrt {\cos^2 d - \cos^2 r}}{\cos d}$$

.
Опять же, из теоремы синусов

$$\sin A = \frac {\sin a}{\sin r} = \frac {\sqrt {\cos^2 d - \cos^2 r}}{\sin r \cos d}$$

откуда

$$\cos A = \frac {\sqrt{\sin^2 r \cos^2 d - \cos^2 d + \cos^2 r}}{\sin r\cos d} = \frac {\sqrt{\cos^2 r - \cos^2 r \cos^2 d}}{\sin r\cos d} = \frac {\sqrt{\cos^2 r \sin^2 d}}{\sin r\cos d}$$

$$\cos A = \frac {\cos r \sin d}{\sin r\cos d} = \frac {\tan d}{\tan r}$$

Ещё нам понадобится $\cos B$ из теоремы косинусов:

$$\cos B = -\cos A \cos C + \sin A \sin C \cos b = \sin A \cos d$$

Теперь можно считать площади.
Площадь двух секторов:

$$S_1 = 4 \frac {A}{2\pi} 2\pi(1-\cos r) = 4A(1-\cos r)=4(1-\cos r)\arccos\frac {\tan d}{\tan r}$$

Площадь ромба из площади треугольника:

$$S_2 = 4 \left(A+B+C-\pi\right) = 4 \left(A+B-\frac {\pi}2\right)$$

Посчитаем $\cos(A+B-\frac{\pi}2)$:

$$\cos(A+B-\frac{\pi}2)=\sin(A+B)=\sin A \cos B + \cos A \sin B = \sin^2 A \cos d + \frac {\tan d}{\tan r} \frac {\sin d}{\sin r} =$$

$$(1-\cos^2 A) \cos d + \frac {\sin^2 d \cos r}{\sin^2 r \cos d} = \left(1-\frac {\sin^2 d \cos^2 r}{\sin^2 r \cos^2 d}\right) \cos d + \frac {\sin^2 d \cos r}{\sin^2 r \cos d}=$$

$$\frac{\sin^2 r \cos^2 d - \sin^2 d \cos^2 r}{\sin^2 r \cos^2 d} \cos d + \frac {\sin^2 d \cos r}{\sin^2 r \cos d}=\frac{\sin^2 r \cos^2 d - \sin^2 d \cos^2 r + \sin^2 d \cos r}{\sin^2 r \cos d}=$$

$$\frac{\cos^2 d - \cos^2 r \cos^2 d - \cos^2 r + \cos^2 d \cos^2 r + \cos r - \cos^2 d \cos r}{(1 - \cos^2 r) \cos d}=$$

$$\frac{\cos^2 d - \cos^2 r + \cos r - \cos^2 d \cos r}{(1 - \cos^2 r) \cos d}=$$

$$\frac{\cos^2 d(1-\cos r) + \cos r (1-\cos r)}{(1-\cos r)(1+\cos r)\cos d}= \frac{\cos^2 d + \cos r}{(1+\cos r)\cos d}$$

Можно подставить в формулу $S_2$:

$$S_2 = 4 \arccos \frac{\cos^2 d + \cos r}{(1+\cos r)\cos d}$$

И, наконец, площадь пересечения:

$$S = S_1 - S_2 = 4\left((1-\cos r)\arccos\frac {\tan d}{\tan r} - \arccos \frac{\cos^2 d + \cos r}{(1+\cos r)\cos d}\right)$$

(Исправил ошибки)

[std13]

vvvv в сообщении #285955 писал(а):

std, на математическом языке сформулировать задачу не может - это ясно.

Правильно, я скорее инженер чем математик, тем более со сферической геометрией сталкиваюсь впервые

Цитата:

Апельсин gris`а - не помошник.

зато очень наглядно

[gris]

Только пожалел, что нет vvvv c его картинками, как он появился и тут же обхамил раскритиковал апельсин, сделав как намёк грамматическую ошибку. И std13 ему тут же поддакнул, что характерно!

Я, конечно, далек от мысли, что апельсин мог дать кому-то толчок для размышлений. Но, господа, всмотритесь во фрукт пристальнее. Ужли не видно было по картинке, на которой я в отчаянии намалевал без соблюдения кривизны подсказки, что $AB, AD, BD$ суть дуги больших кругов исходя их обычных геометрических представлений.

За дитя тропиков обидно, честное слово

[Circiter]

2vvvv

Цитата:

Апельсин gris`а - не помошник.

Почему же? На первом рисунке ярко-желтым обозначена область, площадь которой (прописная красная S) все тут ищут.

Цитата:

Вот неясно, какую задачу решают завсегдатаи форума?

Решается задача о площади пересечения двух равных кругов на сфере.

2venco
Здорово, конечно, хоть вы и сперли мою идею с декомпозицией сферического ромба. Но, боюсь, если теперь понапихать в вашу формулу все эти $R$, то она станет такой-же страшной как и моя. Хотелось бы что-нибудь простое получить...

Кстати, почему вы ищете площадь ромба как учетверенный квадрат площади треугольника?

[venco]

Circiter в сообщении #286004 писал(а):

2venco
Здорово, конечно, хоть вы и сперли мою идею с декомпозицией сферического ромба.

Да я и не скрываю.

Circiter в сообщении #286004 писал(а):

Но, боюсь, если теперь понапихать в вашу формулу все эти $R$, то она станет такой-же страшной как и моя. Хотелось бы что-нибудь простое получить...

Дык, я уже, по моему, нехило упростил формулу.
А ваша, мне кажется, неправильная. Подставьте $D=0$. Должна получиться площадь круга.
А при $D=2r$ должен быть ноль.

Circiter в сообщении #286004 писал(а):

Кстати, почему вы ищете площадь ромба как учетверенный квадрат площади треугольника?

Опаньки, действительно, квадрат не нужен. Тогда, наверно, ещё можно упростить...

[Circiter]

2venco

Цитата:

Подставьте $D=0$. Должна получиться площадь круга.
А при $D=2r$ должен быть ноль.

Тест $D=2r$ моя формула проходит успешно. А случай $D=0$ я пока затрудняюсь проверить...

-- Сб фев 06, 2010 06:50:47 --

Проверил... Тест $D=0$ дает удвоенный результат, т.е. $2S(r,\ R)$ вместо $S(r,\ R)$...

[venco]

Ещё набор параметров тетраэдра для проверки: $\cos r=\frac 1 3$, $\cos d=\frac 1 {\sqrt 3}$
Площадь двух секторов: $S_1=\frac {8\pi}9$
Площадь ромба: $S_2=\frac {2\pi}3$
$S_{\between}=\frac {2\pi}9$

Моя формула (после исправления ошибок) даёт правильный результат.

[vvvv]

Если ищется площадь пересечения 2-х равных (или любых) сферических дисков, то это задача для среднего студента (применение поверхностного интеграла)

Хотя, наверное, можно и без интегралов.

[Виктор Ширшов]

(Оффтоп)

Виктор Ширшов в сообщении #285957 писал(а):

std13 в сообщении #285094 писал(а):
Как посчитать сферический круг?

В угловой мере, а потом в метрической

Предлагаю апельсин съесть, а найти площадь земной поверхности в виде сферического круга с центром в Кито, радиус которого равен широте северного или южного тропика (23°27’).
Для упрощения расчётов считать Землю идеальным шаром, а радиус равным 6400 километров.
Расчёты можно выполнить и квазиунофантазируя.
Затем результаты сравним.

[Виктор Ширшов]

(Оффтоп)

Виктор Ширшов в сообщении #286047 писал(а):

Затем результаты сравним.

У меня получилось 20 955 785 км^2

Виктор Ширшов, не мешайте людям своим оффтопиком!

[smoll82]

$S=2R^2\left(\frac \pi 2-arcsin\left(\frac{2\frac {tg^2\frac \beta 2} {tg^2\alpha}+tg^2\frac \beta 2-1} {1+tg^2\frac \beta 2}\right)-2arccos\left(\frac{tg\frac \beta 2}{tg \alpha}\right)cos\alpha\right)$,
$\alpha=\frac r R$, $\beta=\frac D R$.

[smoll82]

Расположим радиус-вектор центра окруности 1 вдоль оси Z, а радиус-вектор центра окружности 2 в плоскости XOZ под углом $\beta$ к оси Z.
Введём обозначения:
$\alpha$ -угловой радиус окружностей 1 и 2, $0<\alpha<\frac \pi 2$; $\beta$ -угловое расстояние между центрами этих окружностей, $0\leqslant \beta\leqslant 2\alpha$;
$\psi$ -угол между плоскостью XOZ и плоскостью, лежащей на оси Z и проходящую через одну из точек пересечения окружностей 1 и 2.
$cos \psi= \frac {tg \frac \beta 2}{tg \alpha}$, $sin \psi= \sqrt{1- \frac {tg^2 \frac \beta 2}{tg^2 \alpha}}$.
Координаты точек пересечения окружностей 1 и 2:
$A_x=R sin \alpha cos \psi$, $A_y=-R sin \alpha sin \psi$, $A_z=R cos \alpha$,
$B_x=R sin \alpha cos \psi$, $B_y=+R sin \alpha sin \psi$, $B_z=R cos \alpha$.
Уравнение плоскости, проходящей через точки A и B и начало координат O:
$\left| \begin{array}{ccc}x & y & z \\A_x & A_y & A_z \\B_x & B_y & B_z\end{array} \right|=0$.
После преобразований: $-x+z*tg \frac \beta 2=0$,(можно было и сразу записать ),
или в сферических координатах: $\theta(\varphi)=arctg \frac {tg \frac \beta 2}{cos \varphi}$.
Объём тела v, ограниченный плоскостью XOZ, плоскостью $\theta(\varphi)$, поверхностью конуса $\theta=\alpha$ и поверхностью сферы, радиуса R, равен:
$\int\limits_{0}^{R}\rho^2\left(\int\limits_{0}^{\psi}\left(\int\limits_{\theta(\varphi)}^{\alpha}sin\theta d\theta\right)d\varphi\right)d\rho$.
Объём тела v - это лишь четверть объёма телесного угла, ограниченного поверхностью сферы и вырезающего на ней лепесток пересечения заданных окружностей. Объём телесного угла V, вырезающего на поверхности сферы радиуса R площадь S, выражается через эти радиус и площадь как
$V=\frac {S*R}{3}$, откуда
$S=\frac{3*V}{R}=\frac{12*v}{R}$.
Результат записан в предыдущем сообщении.

[std13]

Большое спасибо всем принявшим участие в поиске решения моей задачи! Результат удовлетворяет условиям
Думаю тема закрыта.

[std13]

Итак, покажу что получил в итоге, при построении графиков площадей точно и приближенно. То есть используя формулу smoll82 и свою, полученную для плоскостей...

Лишний раз убеждаюсь, что приближенное решение вещь нужная )