Смысл преобразования Лежандра

[mclaudt]

За любой операцией есть её образная суть. Известно что:

* Тензор — два пучка векторов.
* Уравнение Шрёдингера — диффузия вероятности.
* Эффект Мёссбауэра — лодка, вмерзнувшая в лёд.
* Определитель — объём параллеллепипеда.
* Преобразования Мёбиуса — вращения сферы Римана.
* Лямбда-теория — рисование и подстановки на доске.
* Конечные группы — все возможные наборы колец из N бусинок.
* Преобразования Лоренца — поворот базиса в пространстве Минковского.
* и т.д.

В этой теме предлагаю делиться собственными "читерскими" образами, упрощающими понимание преобразования Лежандра.

Актуальность предложения заключается в том, что коллективными усилиями с зажравшихся "мэтров", паразитирующих на однажды понятых простых моделях, будет, наконец, содрано платье голого короля.

Новизна предложения состоит в том, что вслед за идеями Арнольда, с науки впервые начинают сползать жирные слои терминологической формалистической штукатурки, усложняющей понимание прозрачнейшего каркаса.

PS для сравнения я создал такую же тему на одном IT-шном ресурсе, который в своё время славился агрессивныи технарским духом.

-- Вс мар 14, 2010 18:46:18 --

Поделюсь своим представлением:

Случай функции одной переменной.

Есть график гиперболического параболоида z=xy, составленный из набора скользящих вдоль оси z жердей z(x,y)=xy, параметризующегося переменной y. У каждой жерди при x=0 отмечена красная точка. Cверху с грохотом падает жёлоб с профилем f(x), вытянутый вдоль оси 0y. Падает ровно до места своего расположения согласно f(x), подавливая жерди до касания, либо притягивая их до касания (если место ещё осталось).

Теперь, если смотреть на получившуюся громоздень против оси 0x, то профиль красных точек с точностью до знака даст функцию F(y), которая равна образу f(x).

[Padawan]

mclaudt в сообщении #297664 писал(а):

За любой операцией есть её образная суть. Известно что:
* Тензор — два пучка векторов.

Поясните, пожалуйста. Лично для меня тензор - "полилинейная фигня", которая в каждом базисе ...

А насчет преобразования Лежандра мне тоже интересно.

[mclaudt]

Берем любой тензор любого ранга и делаем из него другой тензор — сделав все его компоненты контравариантными. То есть меняться они будут так же, как и компоненты обычного вектора. Получили пучок векторов. То есть все тензоры можно разбить на классы эквивалентности, в каждом будет свой тензор-пучок векторов. Причем каждому вектору из пучка соответствует ковектор. Ковекторы образуют свой пучок (в своем пространстве).

Векторы стоят на месте при повороте координат, а ковекторы — поворачиваются навстречу.

Именно это я имел в виду когда написал что "Тензор - пара пучков векторов"

[Padawan]

Во-первых, сделать все компоненты контравариантными возможно, только если пространство евклидово (или псевдоевклидово), просто же в линейном пространстве, ничего не переделать. Во-вторых, даже если тензор полностью контравариантен, все равно непонятно, почему это "пучок векторов". Компоненты же преобразуются не по отдельности, а как одно целое. Вот если частный случай - простой бивектор (или поливектор) то тогда да. К тому же они чаще всего и встречаются.

Короче, к чему я клоню. Наряду с таким "читерским" пониманием просто необходимо знать (=понимать) и строгое определение математического понятия.

[mclaudt]

Несомненно, однако нужно дать пощупать, а потом строго определять. Утилитарное тензорное исчисление с тензорами упругости и деформации намного продуктивнее и нагляднее, нежели строгая аксиоматическая юриспруденция с подниманием и опусканием индексов.

-- Вс мар 14, 2010 20:42:18 --

Padawan в сообщении #297696 писал(а):

Во-первых, сделать все компоненты контравариантными возможно, только если пространство евклидово (или псевдоевклидово), просто же в линейном пространстве, ничего не переделать. Во-вторых, даже если тензор полностью контравариантен, все равно непонятно, почему это "пучок векторов". Компоненты же преобразуются не по отдельности, а как одно целое. Вот если частный случай - простой бивектор (или поливектор) то тогда да. К тому же они чаще всего и встречаются.

Спасибо за пояснения, несомненно, тут ещё есть чего допиливать. Однако вырожденная метрика (мешающая переделыванию) полюбому не попадется раньше чем должны быть преподнесены тензоры.

[nestoklon]

Переход от скоростей к импульсам? Мне кажется, нагляднее никак.

[mclaudt]

nestoklon в сообщении #297779 писал(а):

Переход от скоростей к импульсам? Мне кажется, нагляднее никак.

А в чем кстати наглядность такого перехода? (признаться этой темой и хотел уяснить переход к Гамильтону)

Лежандр применяется в термодинамике и в механике. Хочется ухватить общее, и переход к импульсам в механике плохо натягивается на термодинамику.

Судя по термодинамике каким-то образом оказывается, что в методе Лагранжа поиска условного экстремума переменная и коэффициент Лагранжа перед ней связаны Лежандром (я про дуальность T и S,$\mu$ и N, P и V).

[Padawan]

не знаю насчет наглядности, но преобразование Лежандра - это переход от уравнений Эйлера-Лагрнажа к каноническим уравнениям Гамильтона в вариационном исчислении, безотносительно какой-либо механической интерпретации.
Посмотрите Гельфанд-Фомин Вариационное исчисление, если не смотрели еще.

[Кефирович]

Уравнение Шрёдингера — диффузия вероятности. -Не слишком глубоко. У уравнения Шредингера другая суть.

[mclaudt]

Кефирович в сообщении #297791 писал(а):

Уравнение Шрёдингера — диффузия вероятности. -Не слишком глубоко. У уравнения Шредингера другая суть.

Форма почти та же. Однако для понимания согласен - прироста почти нет, ибо мнимая единица все портит.

[nestoklon]

mclaudt в сообщении #297785 писал(а):

А в чем кстати наглядность такого перехода?

Ну, по мне так очень наглядно. Помнить "в картинках", что это тот самый трюк, который позволяет перейти от системы ДУ второго порядка к вдвое большей системе ДУ первого порядка.

mclaudt в сообщении #297785 писал(а):

Лежандр применяется в термодинамике и в механике. Хочется ухватить общее, и переход к импульсам в механике плохо натягивается на термодинамику.

Мне кажется, Ваше желание ухватить общее противоречит Вашему же желанию построить простейшую картинку, которую потом можно использовать для качественного понимания.

[mclaudt]

nestoklon в сообщении #297795 писал(а):

Помнить "в картинках", что это тот самый трюк, который позволяет перейти от системы ДУ второго порядка к вдвое большей системе ДУ первого порядка.

Но разве не к тому же результату приводит просто замена x'=z в любом дифференциальном уравнении? Это же очень похоже на метод понижения порядка системы дифуров. Но это просто подстановка, неужели за преобразованием Лежандра не кроется большего?

[nestoklon]

mclaudt в сообщении #297798 писал(а):

Но разве не к тому же результату приводит просто замена x'=z в любом дифференциальном уравнении?

В любом одном дифференциальном уравнении -- да.

[mclaudt]

Разве только в одном? Если для некой системы ввести замену $\dot x_i = z_i$, то результат будет тот же. Уравнений в 2 раза больше, но степень понижена. И где тут проявился Лежандр — неясно. И проявился ли вообще.

[nestoklon]

mclaudt в сообщении #297809 писал(а):

Разве только в одном? Если для некой системы ввести замену $\dot x_i = z_i$, то результат будет тот же. Уравнений в 2 раза больше, но степень понижена. И где тут проявился Лежандр — неясно. И проявился ли вообще.

Нутром чую, будут проблемы. А где -- с ходу не понимаю. Может, проблемы будут в том что $z_i$ будет совершенно непонятным зверем -- ни вектор, ни ковектор? А преобразование нужно чтобы сделать из этого непонятно чего что-то что имеет геометрический смысл?.. Хотя может это и чушь. Надо подумать.