1 в степени бесконечность

[zaqwedcvbgt]

В учебнике Фихтенгольца доказывается, что n^(1/n) - корень n-ной степени из n = 0 при n стремится к бесконечности (том 1, стр.66).
Отсюда следует, что 1 в степени бесконечность стремится к бесконечности (к n). Это мне не понятно. Для меня было очевидно, что 1 в любой степени стремится к 1. Так ли это и почему получается, что 1 в степени бесконечность равно бесконечности? Прошу объяснить или подсказать где почитать разъяснение этого.

[meduza]

$\left(1^{\infty}\right)$ -- неопределённость и может стремиться к чему угодно или же не стремится ни к чему. Про пределы и раскрытие неопределённостей есть в любом учебнике матана, в том же Фихтенгольце или его lite-версии Пискунов.

P. S. Правила форума обязывают использовать TeX.

[Padawan]

Напишите предел, который Вас интересует. Например, $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n] n =1$.

[zaqwedcvbgt]

meduza в сообщении #297689 писал(а):

$\left(1^{\infty}\right)$ -- неопределённость и может стремиться к чему угодно или же не стремится ни к чему.

При каких условиях тогда он стремится к 1 и при каких - к бесконечности?

[meduza]

zaqwedcvbgt
Зависит от конкретного предела. Например, второй замечательный равен $e$.

[Padawan]

Так какой конкретно предел Вас интересует. А там посмотрим, чего "в общем" говорить.

[zaqwedcvbgt]

Padawan
Я читаю последовательно учебник для общего развития. Мне непонятно, поэтому спрашиваю.

$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n] n =1$.
Почему нельзя тогда возвести правую и левую часть в степень n и получить, что 1 в степени n стремится к бесконечности вообще?

[meduza]

zaqwedcvbgt в сообщении #297702 писал(а):

Почему нельзя тогда возвести правую и левую часть в степень n

$n$ -- это внутренняя (вне предела $n$ не существует) переменная (а не число и $n\neq\infty$, да и $\infty$ -- тоже не число) предела. Вернитесь в учебнике назад и вникните в определение предела, а потом идите дальше неспеша.

[Padawan]

Возводя, получим слева

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left (\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n] n\right)^n$$

А это не равно

$$\lim\limits_{n\to\infty} \left (\sqrt[n] n\right )^n$$

[jetyb]

Цитата:

Почему нельзя тогда возвести правую и левую часть в степень n и получить, что 1 в степени n стремится к бесконечности вообще?

Потому что нельзя перемножать неограниченное число пределов. Примените это к такому примеру:
$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)$

[ewert]

Padawan в сообщении #297713 писал(а):

Возводя, получим слева

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left (\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n] n\right)^n$$

Ну нельзя же так небрежно. Можно только $\lim\limits_{m\to\infty}\left (\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n] n\right)^m$.

[Lesobrod]

Wolfram Mathematica (конечно, не истина в последней, но все же...) выдаёт:
${1^{\infty}} \to Indeterminate$
$\lim\limits_{n\to\infty} 1^n=1$
$\lim\limits_{n\to\infty} \left (\sqrt[n] n\right )^n=1$
$\lim\limits_{m\to\infty}\left (\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n] n\right)^m=1$(!!)

[ewert]

Lesobrod в сообщении #297881 писал(а):

$\lim\limits_{n\to\infty} \left (\sqrt[n] n\right )^n=1$
$\lim\limits_{m\to\infty}\left (\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n] n\right)^m=1$(!!)

Неужто так с восклицательными знаками и выдаёт?...

А удивляться тут нечему. Вольфрам -- он достаточно умный; во всяком случае уж что-что, а подстановки делать умеет. И понимает, что $\lim\limits_{m\to\infty}1^m=1$.

[Padawan]

А Wolfram Mathematica на такое будет ругаться?

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left (\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n] n\right)^n$$

-- Пн мар 15, 2010 10:49:03 --

Lesobrod в сообщении #297881 писал(а):

Wolfram Mathematica (конечно, не истина в последней, но все же...) выдаёт:
${1^{\infty}} \to Indeterminate$
$\lim\limits_{n\to\infty} 1^n=1$
$\lim\limits_{n\to\infty} \left (\sqrt[n] n\right )^n=1$
$\lim\limits_{m\to\infty}\left (\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n] n\right)^m=1$(!!)

Предпоследнее равенство не правильное

[ewert]

Padawan в сообщении #297893 писал(а):

А Wolfram Mathematica на такое будет ругаться?

$$\lim\limits_{n\to\infty}\left (\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n] n\right)^n$$

Возможно, что и не будет (из-за внутреннести каждой из переменных). Но математически такая запись -- не грамотна.

(да, а в предпоследней записи автор, скорее всего, просто опечатался при набивке)