Функция, дифференцируемая лишь в одной точке ...

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #297579 писал(а):

Интереснее? Хмм... Уверен, Вы не собирались намекнуть на то, что эта функция якобы бесконечно дифференцируема в нуле.

Кстати, в каком точно смысле она бесконечно много раз дифференцируема в нуле? Вот, к примеру, верно ли, что в нуле $d^2 f = 0$?

-- Вс мар 14, 2010 20:13:01 --

Там что-то странное. Интуиция мне подсказывает, что $f''(0)$ не определено, но $(d^2 f/dx^2)(0) = 0$

[Padawan]

В том смысле, что $f(x)=o(x^n)$ при $x\to 0$ для любого $n=1,2,\ldots$

$d^2 f=ddf$, а как можно брать дифференциал от выражения, которое определено только в одной точке?

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #297587 писал(а):

Там что-то странное. Интуиция мне подсказывает, что $f''(0)$ не определено, но $(d^2 f/dx^2)(0) = 0$

Ничего странного. Просто интуиция иногда бесится.
Кстати, даже если бы такая «зажатая» $f$ была во всех ненулевых точках бесконечно дифференцируема, ее первая производная все равно могла бы оказаться безобразно разрывной в нуле. (Зажимте туда какой-нибудь $\sin\frac1x$.)

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #297589 писал(а):

В том смысле, что $f(x)=o(x^n)$ при $x\to 0$ для любого $n=1,2,\ldots$

Ну да, в этом смысле.

Дифференциал --- это линейная часть приращения функции. А второй дифференциал --- это не дифференциал от дифференциала, а квадратичная часть приращения функции. То есть такая квадратичная форма $A(x,y)$, что $f(x) - A(x,x) = o(x^2)$. И вот она оказывается равной нулю.

[Padawan]

Профессор Снэйп в сообщении #297615 писал(а):

А второй дифференциал --- это не дифференциал от дифференциала, а квадратичная часть приращения функции.

Именно дифференциал от дифференциала.

Вторая производная -- это производная от производной, она может быть представлена в виде билинейной формой $d^2f (h_1,h_2)$. И второй дифференциал - это значение второй производной при $h_1=h_2=h$, т.е. $d^2 f (h,h)$. См. Колмогоров-Фомин.