Расстояние между кривыми

[volchenok]

Правильно ли я понимаю? Поскольку расстояние между кривыми является наименьшим отрезком, соединяющим две данные кривые. То это расстояние можно найти как условный минимум функции, которая является известной формулой для длинны отрезка в эвклидовом пространстве. Где уравнениями связей будут уравнения этих кривых. Заранее спасибо.

[gris]

Можно и так.
А я бы параметризовал обе кривые и находил бы минимум функции двух переменных (параметров) на прямоугольнике.

[volchenok]

Дело в том, что мне нужно это обобщить на произвольную гиперповерхность. В связи с этим вопрос. Уже в 4 мерном пространстве мы получаем число неизвестных большее, чем число уравнений. И для таких кривых как y=2x и y=2x+3 система не определена.Разъясните пожалуйста.

[gris]

Постойте. У Вас расстояние измеряется вдоль гиперповерхности? Нет, конечно, показалось.
Но в четырёххмерном пространстве $y=2x$ это не кривая, а гиперплоскость.
Кривая это $L:(t;2t;e^t;0;4t^2)$. Или система уравнений.

[volchenok]

Нет. Эти кривые рассматриваются в двухмерном пространстве. А про более высокие размерности я вспомнил из-за того, что получается не определенная система уравнений. Если не так, расскажите правильный путь.

[vvvv]

Используйте метод Лагранжа.В 4-х мерном пространстве у вас будет 10 неизвестных и 10 уравнений.
Метод сработал и для вашего примера - расстояние между прямыми 1.342

[volchenok]

Да. Спасибо. Это я понял.. А сколько у вас получилось для этих же кривых на плоскости.

[vvvv]

У кого Вы спрашиваете?

[volchenok]

У вас

[vvvv]

Тогда неясен вопрос.Вы ведь задали уравнения прямых на плоскости

[Padawan]

Смысл уравнений Лагранжа в данном случае состоит в том, что отрезок, соединяющий точки на этих кривых ортогонален к кривым (в этих точках).

[volchenok]

Тогда возникает противоречие. По рисунку расстояние между этими кривыми корень из двух, что не сходится с Вашим ответом.

[Алексей К.]

Не знаю, что такое "по рисунку", а без рисунка получается $\dfrac{3}{\sqrt5}$.

[gris]

$\tg a=2$
$\tg^2a=4$
$1/\cos^2a=1+4=5$
$\cos a=1/\sqrt 5$
$R=3/\sqrt 5\approx 1,3416$
Ой, так формула ж есть...

[vvvv]

Расстояние между прямыми именно то, которое я указал - корень из двух - это ошибка
Вот, пока проверял - меня опередили