смена максимумов и минимумов

[Codegrammer123]

Есть функция $F(x,y)$, определенная при $x\ge 0$, $y\ge 0$. Верно ли равенство:

$$\max\limits_{x\ge 0} (\min\limits_{y\ge 0} (F(x,y))) = \min\limits_{y\ge 0} (\max\limits_{x\ge 0} (F(x,y)))$$

Извиняюсь, что не могу записать это тегом. Сам склоняюсь, что равенство верно, но не могу доказать.

[ewert]

Гляньте на функцию $F(x,y)=y$ (а заодно и на её кодирования, наведя мышку на формулу).

[Codegrammer123]

ewert в сообщении #297353 писал(а):

Гляньте на функцию $F(x,y)=y$ (а заодно и на её кодирования, наведя мышку на формулу).

Спасибо за метод кодирования. Но эта функция удовлетворяет равенству ...

[ewert]

Codegrammer123 в сообщении #297356 писал(а):

Но эта функция удовлетворяет равенству ...

Да, виноват, чего-то зазевался. Тем не менее -- утверждение, конечно, неверно. Например, возьмите $F(x,y)$, равную единице на прямой $x=y$ и нулю во всех остальных точках. Тогда $\max\limits_x\,\min\limits_y\,F(x,y)=0$, в то время как $\min\limits_y\,\max\limits_x\,F(x,y)=1$.

[gris]

а есть ли название для функций, у которых минимакс равен максимину? Типа "чистостратегическая"

[Codegrammer123]

ewert в сообщении #297402 писал(а):

Codegrammer123 в сообщении #297356 писал(а):

Но эта функция удовлетворяет равенству ...

Да, виноват, чего-то зазевался. Тем не менее -- утверждение, конечно, неверно. Например, возьмите $F(x,y)$, равную единице на прямой $x=y$ и нулю во всех остальных точках. Тогда $\max\limits_x\,\min\limits_y\,F(x,y)=0$, в то время как $\min\limits_y\,\max\limits_x\,F(x,y)=1$.

спасибо за ответ. Да, действительно, в общем случае ответ "нет". А как быть в случае непрерывной функции?

[ewert]

Codegrammer123 в сообщении #297424 писал(а):

А как быть в случае непрерывной функции?

Ну размажьте как-нибудь эту функцию. Замените её на непрерывно спадающую в обе стороны от биссектрисы к пераллельным ей линиям до нуля, а дальше -- ноль. Ничего не изменится.

Или попросту возьмите что-нибудь типа $\dfrac{1}{1+(x-y)^2}$.

[Codegrammer123]

ewert в сообщении #297427 писал(а):

Ну размажьте как-нибудь эту функцию. Замените её на непрерывно спадающую в обе стороны от биссектрисы к пераллельным ей линиям до нуля, а дальше -- ноль. Ничего не изменится.

Спасибо за корректное объяснение. Тему можно закрывать.

[mclaudt]

gris в сообщении #297415 писал(а):

а есть ли название для функций, у которых минимакс равен максимину? Типа "чистостратегическая"

Существование седловой точки достойно отдельного термина?