Дельта функция - свойства

[e7e5]

Несколько вопросов по Дельта функции Дирака.

Известно:
$\delta(x)=0$ при $x\ne 0$ и
$\delta(x)=\infty$ при $x=0$

1) Как доказать, что график функции $b \delta(x)$ в $b$ раз выше графика $\delta(x)$?

C одной стороны, для "классических" функций это очевидно. Но вот при указанном определении с нулем и бесконечностью, как то непонятно...
Пожалуйста, поясните популярно...

Вот если рассматривать определение через интеграл, то вроде понятно.

2) Если функция $\phi(x)$ имеет единственный нуль $x_0$, так что $\phi(x_0)=0$, $\phi(x) \ne 0$ при $x \ne x_0$, то

$\delta(\phi(x))= \frac {\delta(x-x_0)} {|\phi'(x_0)|}$.

Во втором случае начал рассуждение с того, что "Известно". Т.е для всех $x \ne x_0$ $\phi(x) \ne 0$. C другой стороны, $\delta(x)=0$, кроме точки $x=0$.
Получается, что $\delta(0)=\delta( \phi(x_0))=\delta(x-x_0)$
Но вот откуда берется знаменатель???

[ИСН]

Нет. Всё не так. Дельта-функция - вообще не функция, графика у неё нет, а это "Известно" представляет собой популярную метафору.

[e7e5]

ИСН в сообщении #297265 писал(а):

Нет. Всё не так. Дельта-функция - вообще не функция, графика у неё нет, а это "Известно" представляет собой популярную метафору.

Как же быть с доказательством п.2?

[ewert]

Линеаризуйте функцию: $\varphi(x)=\alpha(x-x_0)$. Тогда утверждение сведётся к: $\delta(\alpha(x-x_0))=\dfrac{\delta(x-x_0)}{\alpha}$. Ну это очевидно: $\int \delta(\alpha(x-x_0))\,dx=\dfrac{1}{\alpha}\int \delta(x-x_0)\,dx$.

[e7e5]

ewert в сообщении #297270 писал(а):

Линеаризуйте функцию: $\varphi(x)=\alpha(x-x_0)$.

Ясно, спасибо.

вопрос 3.
Что представляет собой функция $\delta(\phi(x))$, если $\phi(x)$ обращается в ноль при нескольких значениях $x_i$?

вроде, можно также линеаризовать для каждого $x_i$, но вот с видом функции не ясно...


4) В частности, чему равен

$\int \limits_{-\infty}^{+\infty} \phi(x) \delta(\sin x) dx$

-- Сб мар 13, 2010 22:11:44 --

$\delta ( \phi(x))=\sum_{i}\frac {x-x_i} {|\phi'(x_i)|}$

[ewert]

e7e5 в сообщении #297288 писал(а):

Что представляет собой функция $\delta(\phi(x))$, если $\phi(x)$ обращается в ноль при нескольких значениях $x_i$?

Естественно, к сумме соответствующих слагаемых по всем корням.

[e7e5]

e7e5 в сообщении #297288 писал(а):

4) В частности, чему равен

$\int \limits_{-\infty}^{+\infty} \psi(x) \delta(\sin x) dx$

Получается
$|\phi'(x_0)|=|cos x_0|=|cos k \pi|=1$
$\delta(sinx)=\sum_{k=-\infty} ^{k=+\infty} \delta(x-k \pi)$

$\int \limits_{-\infty}^{+\infty} \psi(x) \delta(\sin x) dx=\sum_{k=-\infty} ^{k=+\infty} \psi(k \pi)$

[Профессор Снэйп]

ИСН в сообщении #297265 писал(а):

Дельта-функция - вообще не функция...

Дельта-функция --- это линейный функционал. Каждый линейный функционал является функцией (из векторного пространства в поле скаляров)

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #297261 писал(а):

Известно:
$\delta(x)=0$ при $x\ne 0$ и
$\delta(x)=\infty$ при $x=0$

Извеснтно, что курица --- не птица, бесконечность --- не число, дельта-функция --- не функция.
Когда люди пишут что-то вроде $\text{левая\_часть}=\infty$, то это условное обозначение для некой громоздкой фразы, и левая часть задаёт контекст для этой фразы.
Когда люди пишут простые-привычные выражения с дельта-функцией, их тоже следует понимать как условную запись неких известных читателю формальных выражений, более громоздких (но типовых) фраз, включающих пределы и прочая.

Я второй раз встреваю в забытую мной тему обобщённых функций (но вполне интуитивно понятную, и достаточно точные слова смог бы написать, наверное, не подглядывая в учебник). Сейчас я встрял лишь затем, что подумал: Вас, е7е5, как любителя плоских кривых, моя предыдущая объяснялка с картинками может заинтересовать.

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #297601 писал(а):

моя предыдущая объяснялка с картинками может заинтересовать.

5) Найти производную разрывной функции:
$y=1$ при $x < 1$,
$y=3$ при $1<x<2$
$y=2$ при $x>2$

Разрыв имеет место при
a) $x=1$, величина разрыва равна $3-1=2$, т.е
$dy/dx=0+2 \delta(x-1)$
б) $x=2$, величина разрвыва равна $3-2=1$, т.е
$y'=0+1 \delta(x-2)$
Т.е для заданной разрывной функции имеем:

$\frac {dy} {dx} = 2 \delta(x-1)+\delta(x-2)$

6) Найти вторую производную функции, кривизну для $y=|x|$

[e7e5]

e7e5 в сообщении #297725 писал(а):

6) Найти вторую производную функции, кривизну для $y=|x|$

Насколько разобрался

$\frac {d |x|} {dx}=sgn(x)$, т.е
$-1$ при $x<0$,
$1$ при $x>0$

Собственно эту разрывную функцию надо представить через $\delta$
как
$sgn(x) = -1+ 2 \int \limits_{-\infty}^{x} \delta(x) dx$
Ясно, что значение разрыва равно $1- (-1)=2$, а вот почему верхнее предел интегрирования до $x$?
Или это условое обозначение, что $x<0$, тогда интеграл равен нулю, а когда $x>0$, то равен 1

[Alexey1]

e7e5 в сообщении #297725 писал(а):

Т.е для заданной разрывной функции имеем:
$\frac {dy} {dx} = 2 \delta(x-1)+\delta(x-2)$

Ошиблись в знаке второго слагаемого.

e7e5 в сообщении #298815 писал(а):

Собственно эту разрывную функцию надо представить через $\delta$
как
$sgn(x) = -1+ 2 \int \limits_{-\infty}^{x} \delta(x) dx$

Запишите как $sgn(x) = -1+ 2 \int \limits_{-\infty}^{x} \delta(y) dy$.
Это следует из свойств дельта функции. Посмотрите например, функцию Хевисайда

[Алексей К.]

e7e5 в сообщении #298815 писал(а):

Собственно эту разрывную функцию надо представить через $\delta$
как
$sgn(x) = -1+ 2 \int \limits_{-\infty}^{x} \delta(x) dx$

По-прежнему, не желая встревать в темы об обобщённых ф-циях, хочу указать Вам на страшную ошибку: правильная запись процитированной формулы такова:

$$sgn(x) = -1+ 2 \int \limits_{-\infty}^{x} \delta(t) dt.$$

Или так:

$$sgn(x) = -1+ 2 \int \limits_{-\infty}^{x} \delta(\xi) d\xi$$

Чувствуете разницу? Если нет, то надо остановиться, обсудить, почувствовать. Хотя бывает, что Вашу запись не считают ошибочной.

Цитата:

Ясно, что значение разрыва равно $1- (-1)=2$, а вот почему верхнее предел интегрирования до $x$?

А вот так запишу, может, всё будет ясно:
Hack attempt!Спрашивайте, если я неясно выразился.

-- 18 мар 2010, 00:00 --

Alexey1 в сообщении #298829 писал(а):

Запишите как $sgn(x) = -1+ 2 \int \limits_{-\infty}^{x} \delta(y) dy$.

Вот и тёзка не захотел использовать одну и ту же буковку, $x$, и для верхнего предела и для переменной интегрирования. Он взял $y$, я взял $t$, $\xi$ --- лишь бы не $x$.

[e7e5]

Алексей К. в сообщении #298831 писал(а):

хочу указать Вам на страшную ошибку: правильная запись процитированной формулы такова:

$$sgn(x) = -1+ 2 \int \limits_{-\infty}^{x} \delta(t) dt.$$

Или так:

$$sgn(x) = -1+ 2 \int \limits_{-\infty}^{x} \delta(\xi) d\xi$$

Чувствуете разницу? Если нет, то надо остановиться, обсудить, почувствовать. Хотя бывает, что Вашу запись не считают ошибочной.

Спасибо, да просмотрел книги, как я записал не встретил.
....
Получается
$\frac {d^2|x|} {dx^2}= 2\delta(x)$
Кривизна какая-то странная, неклассическая...получается.