Функция, дифференцируемая лишь в одной точке ...

[Pripyat]

Функция, дифференцируемая лишь в одной точке ... Такое возможно?
Лично я думаю, что нет, потому что можно найти бесконечно много точек в окрестности этой дифференцируемой точки, в которых функция тоже будет дифференцируема. Но не уверен.

[Padawan]

А функция ни в одной точке не дифференцируемая возможна?

[AGu]

Бывает даже так, что функция дифференцируема в одной точке и разрывна во всех остальных точках.
(Впрочем, умолкаю. Коллега Padawan уже начал умело подталкивать Вас к решению.)

[Pripyat]

Да, возможна. Например, функция Дирихле: 1 - число рациональное, 0 - число иррациональное (или наоборот)

[gris]

А вот умножьте Дирихле на что-нить дифференцируемое и равное нулю только в одной точке.

[maxmatem]

Например функция $f(z)=zImz$, где $z \in \mathbb{C}$ ,дифференцируема лишь в одной точке $(0;0)$ и больше нигде!
а недефференцируема ни в какой точке , например $f(z)=Imz$ $z \in \mathbb{C}$

[Pripyat]

А на множестве действительных чисел?

[AGu]

Pripyat в сообщении #297316 писал(а):

А на множестве действительных чисел?

Вы напрасно игнорируете подсказку gris'а.

[Delpiero]

Возможно, автор вопроса имел ввиду непрерывные действительные функции. Самыми известными примерами непрерывных и нигде не дифференцируемых функций являются функции Вейерштрасса и Ван дер Вардена.

[ewert]

AGu в сообщении #297439 писал(а):

Вы напрасно игнорируете подсказку gris'а.

Это, к сожалению, недоподсказка:

gris в сообщении #297252 писал(а):

А вот умножьте Дирихле на что-нить дифференцируемое и равное нулю только в одной точке.

(мечтательно) эх, вот если б добавить ещё что-нибудь типа "и не меняющее при этом знак"...

[AGu]

ewert в сообщении #297447 писал(а):

вот если б добавить ещё что-нибудь типа "и не меняющее при этом знак"...

Ну а это тогда переподсказка. Достаточно добавить что-нибудь типа «и имеющее в ней нулевую производную».

// 14.03.10 перемещено из раздела «Математика (общие вопросы)» в раздел «Помогите решить / разобраться (M)». / GAA

[Профессор Снэйп]

$$ f(x) = \begin{cases} x^2, &x \in \mathbb{Q} \\ 0, &x \not\in \mathbb{Q} \end{cases} $$

[AGu]

(Оффтоп)

Экий Вы злой, Профессор, так и не дали топикстартеру самому догадаться.
Вот Вам за это мелкая месть. Почувствуйте разницу: $\not\in$ и $\notin$.

[Профессор Снэйп]

(Оффтоп)

$$ f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2}, &x \notin \mathbb{Q} \\ 0, &x \in \mathbb{Q} \end{cases} $$

Так ещё интереснее

[AGu]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #297537 писал(а):

Так ещё интереснее

Интереснее? Хмм... Уверен, Вы не собирались намекнуть на то, что эта функция якобы бесконечно дифференцируема в нуле.