Обратное предложение

[Sasha2]

Someone писал(а):

Sasha2 писал(а):

Интересно, что должен отвечать учитель школы, если ему ученик такой вопрос задаст?

Однозначно то, что я написал. Это стандартное понимание обратного утверждения. Посмотрите хоть в математической энциклопедии (статья "Обратная теорема").

Да нет не про обратное предложение вообще (в котором заключение частично или полностью совпадает с условием первого и наоборот), а про конкретно сабжевое.

[e2e4]

Целиком и полностью согласен с Someone. Его трактовка
а) Интуитивно наиболее верная;
б) Основывается на общепринятых принципах построения подобного рода логических заключений.

Вообще хорошая задача - предлагайте примеры посложней

[Sasha2]

e2e4 писал(а):

Целиком и полностью согласен с Someone. Его трактовка
а) Интуитивно наиболее верная;
б) Основывается на общепринятых принципах построения подобного рода логических заключений.

Ну я вообще не совсем согласен с этими утверждениями. Ведь если так, то тогда обратная теорема Пифагора звучала бы так: "Если сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то тогда треугольник прямоугольный", а это не так. Вообще принцип построения, указанный уважаемым Someone, верен, но наверно только в том случае, если, ну попроще сказать A и B не пересекаются, т.е. иногда возникает ситуация, когда заключение содержит часть условия. Вот на эти части, если их сократить, то тогда, пожалуйста.

[e2e4]

Цитата:

Ну я вообще не совсем согласен с этими утверждениями. Ведь если так, то тогда обратная теорема Пифагора звучала бы так: "Если сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то тогда треугольник прямоугольный", а это не так.

Это так, только, не доказав, что треугольник прямоугольный, некорректно говорить ит катетах и гипотенузах. Правильно обратная теорема звучит так: "Если в треугольнике со сторонами a,b,c a^2 + b^2 = c^2, то этот треугольник прямоугольный, причем стороны a, b являются катетами, а c гипотенузой".

Цитата:

Вообще принцип построения, указанный уважаемым Someone, верен, но наверно только в том случае, если, ну попроще сказать A и B не пересекаются, т.е. иногда возникает ситуация, когда заключение содержит часть условия. Вот на эти части, если их сократить, то тогда, пожалуйста.

Мало что понял... Единственное что могу сказать - в обратных теоремах условие должно становиться ответом, а ответ - условием.

[Sasha2]

Цитата:

Это так, только, не доказав, что треугольник прямоугольный, некорректно говорить ит катетах и гипотенузах. Правильно обратная теорема звучит так: "Если в треугольнике со сторонами a,b,c a^2 + b^2 = c^2, то этот треугольник прямоугольный, причем стороны a, b являются катетами, а c гипотенузой".

Это верно, но тогда также верно, что прямая теорема звучала бы так:
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей, при этом первые два катеты, а третья гипотенуза. Однако по историческим причинам мы говорим короче, как нам кажется красивее с эстетической точки зрения.

[PAV]

Обычно понятие "прямая" и "обратная" теорема применяются тогда, когда у нас есть два эквивалентных условия. В одну сторону - прямая теорема, в другую - обратная.

В случае с прямоугольными треугольниками одно условие - наличие прямого угла, второе - что сумма квадратов двух некоторых сторон равна квадрату третьей.

Но здесь обращение простое потому, что есть некоторый общий объект (треугольник) и два различных типа условий, которым он может удовлетворять или нет.

Предложения типа "существует" или "существует и единственен" сложно обратить, потому что постулат содержит некоторые условия, которые используются в заключении. При простой механической перестановке утверждений предложение просто перестает удовлетворять правилам русского языка. В этом случае вопрос о том, можно ли говорить о наличии "обратного" предложения и как оно должно звучать, как мне кажется, не имеет строгого смысла и является вопросом личных предпочтений.

Если речь идет о прямой и точках, то, как мне кажется, разумным обратным является "для любой прямой существует две точки, через которые она проходит", как первым написал e2e4. Это предложение наряду с исходным включено в стандартную систему геометрических аксиом (поэтому, в частности, бессмысленно говорить о том, истинно оно или нет. Математики просто договорились его принимать).

Утверждение о единственности прямой, проходящей через две точки, на мой взгляд, разумным образом не обращается.

[e2e4]

Sasha2 писал(а):

...но тогда также верно, что прямая теорема звучала бы так:
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей, при этом первые два катеты, а третья гипотенуза. Однако по историческим причинам мы говорим короче, как нам кажется красивее с эстетической точки зрения.

Я понимаю, что занудствую, но я настаиваю на том, что в случае теоремы Пифагора, где нам уже дается прямоугольный треугольник, называть его стороны катетами и гипотенузой корректно. В случае обратной теоремы, треугольник нам дается произвольный, потом проверяется на соответствие формуле a^2 + b^2 = c^2, и только потом объявляется прямоугольным. Чтобы сохранить всю полноту информации, данной в прямой теореме, я умышленно добывил к обратной "...причем стороны a, b являются катетами, а c гипотенузой". На самом деле необходимо было бы обратную теорему переформулировать так, что "если сумма квадратов двух произвольных сторон данного треугольника равна квадрату третьей стороны то бла бла бла... стороны, чья сумма квадратов равна квадрату третьей стороны - катеты. Оставшаяся сторона - гипотенуза."

Мне кажется, что такое доскональное оттачивание формулировки позволяет более ясно понять прямую теорему, а также отделить действительное от того, чего в ней нет, а навязывается нам по инерции стереотипом мышления.

PAV писал(а):

Если речь идет о прямой и точках, то, как мне кажется, разумным обратным является "для любой прямой существует две точки, через которые она проходит", как первым написал e2e4. Это предложение наряду с исходным включено в стандартную систему геометрических аксиом (поэтому, в частности, бессмысленно говорить о том, истинно оно или нет. Математики просто договорились его принимать).

Написать-то я первым написал, но там есть слова "как минимум две точки". Именно это "как минимум" является по инерции написанным, необоснованным расширением трактовки прямой теоремы. Поэтому формулировка Someone наиболее точна ИМХО. И по-моему он правильно ввел в обратную теорему применение единственности прямой:

Someone писал(а):

Прямое: "если заданы две различные точки, то существует единственная прямая, проходящая через заданные точки".
Обратное: "если существует единственная прямая, проходящая через заданные точки, то заданы две различные точки".