2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Площадь области в криволинейных координатах
Сообщение07.03.2010, 11:54 
Заслуженный участник


13/12/05
3638
Как с минимум усилий доказать, что в криволинейных координатах $u,v$ площадь области даётся формулой

$$
mD=\iint_{\Omega} |J(u,v)| dudv
$$
где $J(u,v)$ -- якобиан замены. Предполагается, что области $D$, $\Omega$ - хорошие, ограничены, кусочно гладкими кривыми, замена непрерывно дифференцируема в обе стороны и действует в большей области $\overline \Omega\subset \Omega'\to D'\supset\overline D$.

Мне хочется как-то по-простому доказать, что $\min J\cdot m\Omega\leqslant mD\leqslant \max J \cdot m\Omega$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь области в криволинейных координатах
Сообщение07.03.2010, 17:55 
Заслуженный участник


11/05/08
31881
Padawan в сообщении #295442 писал(а):
Мне хочется как-то по-простому доказать, что $\min J\cdot m\Omega\leqslant mD\leqslant \max J \cdot m\Omega$.

Не уверен, что это можно доказать "по-простому", не прибегая к "бесконечно малым" -- не разбивая область на измельчающиеся подобласти и не сравнивая на них преобразование координат с линейным. Просто не за что зацепиться.

Но тогда куда проще (и убедительнее!) доказывать не неравенства, а непосредственно равенство исходной площади интегралу справа. Как обычно, по-сермяжному: разбивая область в переменных $(u,v)$ на маленькие квадратики и приближая образ каждого из них соответствующим параллелограммом. Там все оценки получаются легко и в лоб -- учитывая равномерную непрерывность матрицы Якоби преобразования координат и её "равномерную невырожденность".

А ещё лучше -- доказывать не эту формулу, а сразу правило замены переменных в двойном интеграле, дополнительных накладных расходов -- практически никаких.

В общем, не вижу смысла суетиться. В лучшем случае удастся укоротить доказательство процентов на десять -- при эдак тринадцатикратном увеличении его непрозрачности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь области в криволинейных координатах
Сообщение11.03.2010, 23:24 
Заслуженный участник


13/12/05
3638
ewert в сообщении #295607 писал(а):

Но тогда куда проще (и убедительнее!) доказывать не неравенства, а непосредственно равенство исходной площади интегралу справа. Как обычно, по-сермяжному: разбивая область в переменных $(u,v)$ на маленькие квадратики и приближая образ каждого из них соответствующим параллелограммом. Там все оценки получаются легко и в лоб -- учитывая равномерную непрерывность матрицы Якоби преобразования координат и её "равномерную невырожденность".


Да, я тоже теперь так думаю. Но все-равно доказательство оценок противное... Невырожденность матрицы Якоби, кстати, оказывается не нужна, достаточно дифференцируемости отображения только в одну сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь области в криволинейных координатах
Сообщение12.03.2010, 00:22 


20/04/09
1067
Padawan в сообщении #295442 писал(а):
Как с минимум усилий доказать, что в криволинейных координатах $u,v$ площадь области даётся формулой

$$ mD=\iint_{\Omega} |J(u,v)| dudv $$

я бы сначала дал определение площади и заодно объема:
$$\int_M\sqrt{g}dx_1\ldots dx_m\quad g=\det g_{ij}$$ из линейки студенты уже к этому времени знают, что определитель матрицы Грамма это квадрат объема. Поэтому сама по себе эта формула удивления вызвать не должна.
Padawan в сообщении #296799 писал(а):
Невырожденность матрицы Якоби, кстати, оказывается не нужна,

Это непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь области в криволинейных координатах
Сообщение12.03.2010, 17:20 
Заслуженный участник


13/12/05
3638
terminator-II в сообщении #296820 писал(а):
я бы сначала дал определение площади и заодно объема:
$$\int_M\sqrt{g}dx_1\ldots dx_m\quad g=\det g_{ij}$$ из линейки студенты уже к этому времени знают, что определитель матрицы Грамма это квадрат объема. Поэтому сама по себе эта формула удивления вызвать не должна.


Это если давать определение объема в многообразии. У нас же уже есть конкретная площадь в $\mathbb{R}^2$ -- мера Жордана. К тому же, давая такое определение объема надо доказать его независимость от выбора координат на многообразии, что и сводится к формуле замены переменных в интеграле.

terminator-II в сообщении #296820 писал(а):
Padawan в сообщении #296799 писал(а):
Невырожденность матрицы Якоби, кстати, оказывается не нужна,

Это непонятно.

Я хочу доказать формулу замены переменных в двойном интеграле. Мне казалось, что отображение $\Phi\colon \Omega\to D$ должно быть диффеоморфизмом. Покопавшись в литературе, оказалось, что это не обязательно, лишь бы оно было взаимно-однозначным и класса $C^1$.

Вот в такой формулировке думаю доказать им теорему:

$\Omega$, $D$ -- измеримые по Жордану области, отображение $\Phi\colon \Omega\to D$ - непрерывно дифференцируемо + гомеоморфизм + якобиан $J(u,v)$ ограничен в $\Omega$. Если функция $f(x,y)$ интегрируема по Риману в области $D$, то функция $f(x(u,v),y(u,v))\cdot |J(u,v)|$ интегрируема в $\Omega$ и интегралы равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Площадь области в криволинейных координатах
Сообщение12.03.2010, 18:14 


20/04/09
1067
Padawan в сообщении #296986 писал(а):
Это если давать определение объема в многообразии. У нас же уже есть конкретная площадь в $\mathbb{R}^2$ -- мера Жордана. К тому же, давая такое определение объема надо доказать его независимость от выбора координат на многообразии, что и сводится к формуле замены переменных в интеграле.



$\mathbb{R}^2$ тоже многообразие. Что такое мера Жордана понятно. Но если Вы произносите слово "площадь" т.е. расматриваете меру именно как геометрический объект, тогда, да, как и в случае любого геометрического объекта определенного в координатах, надо доказывать независимость этого объекта от выбора системы координат. И в этом случае допущение вырожденности матрицы Якоби не годится. Просто потому, что это не замена координат в смысле дифференциально-геометрического определения.
Padawan в сообщении #296986 писал(а):
Я хочу доказать формулу замены переменных в двойном интеграле. Мне казалось, что отображение $\Phi\colon \Omega\to D$ должно быть диффеоморфизмом. Покопавшись в литературе, оказалось, что это не обязательно, лишь бы оно было взаимно-однозначным и класса $C^1$.

Это понятно, Лоран Шварц "Анализ".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group