Площадь области в криволинейных координатах

[Padawan]

Как с минимум усилий доказать, что в криволинейных координатах $u,v$ площадь области даётся формулой

$$ mD=\iint_{\Omega} |J(u,v)| dudv $$

где $J(u,v)$ -- якобиан замены. Предполагается, что области $D$, $\Omega$ - хорошие, ограничены, кусочно гладкими кривыми, замена непрерывно дифференцируема в обе стороны и действует в большей области $\overline \Omega\subset \Omega'\to D'\supset\overline D$.

Мне хочется как-то по-простому доказать, что $\min J\cdot m\Omega\leqslant mD\leqslant \max J \cdot m\Omega$.

[ewert]

Padawan в сообщении #295442 писал(а):

Мне хочется как-то по-простому доказать, что $\min J\cdot m\Omega\leqslant mD\leqslant \max J \cdot m\Omega$.

Не уверен, что это можно доказать "по-простому", не прибегая к "бесконечно малым" -- не разбивая область на измельчающиеся подобласти и не сравнивая на них преобразование координат с линейным. Просто не за что зацепиться.

Но тогда куда проще (и убедительнее!) доказывать не неравенства, а непосредственно равенство исходной площади интегралу справа. Как обычно, по-сермяжному: разбивая область в переменных $(u,v)$ на маленькие квадратики и приближая образ каждого из них соответствующим параллелограммом. Там все оценки получаются легко и в лоб -- учитывая равномерную непрерывность матрицы Якоби преобразования координат и её "равномерную невырожденность".

А ещё лучше -- доказывать не эту формулу, а сразу правило замены переменных в двойном интеграле, дополнительных накладных расходов -- практически никаких.

В общем, не вижу смысла суетиться. В лучшем случае удастся укоротить доказательство процентов на десять -- при эдак тринадцатикратном увеличении его непрозрачности.

[Padawan]

ewert в сообщении #295607 писал(а):

Но тогда куда проще (и убедительнее!) доказывать не неравенства, а непосредственно равенство исходной площади интегралу справа. Как обычно, по-сермяжному: разбивая область в переменных $(u,v)$ на маленькие квадратики и приближая образ каждого из них соответствующим параллелограммом. Там все оценки получаются легко и в лоб -- учитывая равномерную непрерывность матрицы Якоби преобразования координат и её "равномерную невырожденность".

Да, я тоже теперь так думаю. Но все-равно доказательство оценок противное... Невырожденность матрицы Якоби, кстати, оказывается не нужна, достаточно дифференцируемости отображения только в одну сторону.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #295442 писал(а):

Как с минимум усилий доказать, что в криволинейных координатах $u,v$ площадь области даётся формулой

$$ mD=\iint_{\Omega} |J(u,v)| dudv $$

я бы сначала дал определение площади и заодно объема:

$$\int_M\sqrt{g}dx_1\ldots dx_m\quad g=\det g_{ij}$$

из линейки студенты уже к этому времени знают, что определитель матрицы Грамма это квадрат объема. Поэтому сама по себе эта формула удивления вызвать не должна.

Padawan в сообщении #296799 писал(а):

Невырожденность матрицы Якоби, кстати, оказывается не нужна,

Это непонятно.

[Padawan]

terminator-II в сообщении #296820 писал(а):

я бы сначала дал определение площади и заодно объема:

$$\int_M\sqrt{g}dx_1\ldots dx_m\quad g=\det g_{ij}$$

из линейки студенты уже к этому времени знают, что определитель матрицы Грамма это квадрат объема. Поэтому сама по себе эта формула удивления вызвать не должна.

Это если давать определение объема в многообразии. У нас же уже есть конкретная площадь в $\mathbb{R}^2$ -- мера Жордана. К тому же, давая такое определение объема надо доказать его независимость от выбора координат на многообразии, что и сводится к формуле замены переменных в интеграле.

terminator-II в сообщении #296820 писал(а):

Padawan в сообщении #296799 писал(а):

Невырожденность матрицы Якоби, кстати, оказывается не нужна,

Это непонятно.

Я хочу доказать формулу замены переменных в двойном интеграле. Мне казалось, что отображение $\Phi\colon \Omega\to D$ должно быть диффеоморфизмом. Покопавшись в литературе, оказалось, что это не обязательно, лишь бы оно было взаимно-однозначным и класса $C^1$.

Вот в такой формулировке думаю доказать им теорему:

$\Omega$, $D$ -- измеримые по Жордану области, отображение $\Phi\colon \Omega\to D$ - непрерывно дифференцируемо + гомеоморфизм + якобиан $J(u,v)$ ограничен в $\Omega$. Если функция $f(x,y)$ интегрируема по Риману в области $D$, то функция $f(x(u,v),y(u,v))\cdot |J(u,v)|$ интегрируема в $\Omega$ и интегралы равны.

[terminator-II]

Padawan в сообщении #296986 писал(а):

Это если давать определение объема в многообразии. У нас же уже есть конкретная площадь в $\mathbb{R}^2$ -- мера Жордана. К тому же, давая такое определение объема надо доказать его независимость от выбора координат на многообразии, что и сводится к формуле замены переменных в интеграле.

$\mathbb{R}^2$ тоже многообразие. Что такое мера Жордана понятно. Но если Вы произносите слово "площадь" т.е. расматриваете меру именно как геометрический объект, тогда, да, как и в случае любого геометрического объекта определенного в координатах, надо доказывать независимость этого объекта от выбора системы координат. И в этом случае допущение вырожденности матрицы Якоби не годится. Просто потому, что это не замена координат в смысле дифференциально-геометрического определения.

Padawan в сообщении #296986 писал(а):

Я хочу доказать формулу замены переменных в двойном интеграле. Мне казалось, что отображение $\Phi\colon \Omega\to D$ должно быть диффеоморфизмом. Покопавшись в литературе, оказалось, что это не обязательно, лишь бы оно было взаимно-однозначным и класса $C^1$.

Это понятно, Лоран Шварц "Анализ".