Предел последовательности норм векторов

[dronbas]

Здравствуйте, задача следующая.
Имеется последовательность векторов $x _{k}$, задаваемая следующей формулой
$x_{k+1}=A^{k+1}x_{0}+\sum_{i=0}^{k}A^{i}l_{k-i}$ или
$x_{k+1}=Ax_{k}+l_{k}$
, где
$A=\left( E+Bh\right) $
$l_{k}=\left( kh^{2}\right) g+hf$
$B\in R^{d\times d};g,f,x_{0}\in R^{d},h\in R,h>0;$
$E$ - единичная матрица.
Требуется понять
1. Сходится ли последовательность $\parallel x_{k}\parallel $ при $k\rightarrow \infty $ при заданном $h$.
2. Найти множество $h$ (или апостроить алгоритм его вычисления) при которых указанная последовательность сходится.

[Полосин]

Так как $\sum\limits_{i=0}^kA^il_{k-i}=h^2\left(\sum\limits_{i=0}^k(k-i)A^i\right)g+h\left(\sum\limits_{i=0}^kA^i\right)f$, то при $g=0$ достаточным условием сходимости будет $||A||<1$, т.е. когда оператор $A$ сжимающий. Это условие выполняется, если все собственные значения $\lambda$ оператора (матрицы) $B$ лежат в круге $|1+\lambda h|<1$.
Если же $g\ne0$, то всё как-то уж очень плохо.

[ewert]

Полосин в сообщении #296742 писал(а):

достаточным условием сходимости будет $||A||<1$, т.е. когда оператор $A$ сжимающий. Это условие выполняется, если все собственные значения $\lambda$ оператора (матрицы) $B$ лежат в круге $|1+\lambda h|<1$.

Вообще-то это разные условия -- первое существенно более жёсткое и из второго не следует (следует наоборот). Однако достаточным для сходимости (и более-менее необходимым) является, действительно, второе.