По формуле Кардано один корень уравнения
![$x = \sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}} + \sqrt[3]{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}}$ $x = \sqrt[3]{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{-3}}{2}} + \sqrt[3]{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{-3}}{2}}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/0/e/b0efd5033e2f21ced774a2987ec5ff6482.png)
.
При

символ Лежандра

, поэтому

и тогда корень уравнения равен сумме сопряженных чисел (кубический корень биективен при

), а значит лежит в

.
При

символ Лежандра

, поэтому квадратный корень извлекается. Далее,

и оба числа - кубические корни из 1. Они есть поскольку

. Но так как

то из них самих еще раз извлекается кубический корень. А значит в формуле
![$x=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$ $x=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/3/7033ae48d8d2950ed6cf9671a3ebc4bf82.png)
оба корня лежат в

, и значит

.
Теперь ссылаемся на Прасолова. Поэтому при

корни есть.
Осталось доказать, что в других случаях корней нету. И мне не нравится использование формулы Кардано, и вообще я какой-то простой многочлен взял, раз получились кубические корни из единицы. Надо другой взять.