По формуле Кардано один корень уравнения
.
При
символ Лежандра
, поэтому
и тогда корень уравнения равен сумме сопряженных чисел (кубический корень биективен при
), а значит лежит в
.
При
символ Лежандра
, поэтому квадратный корень извлекается. Далее,
и оба числа - кубические корни из 1. Они есть поскольку
. Но так как
то из них самих еще раз извлекается кубический корень. А значит в формуле
оба корня лежат в
, и значит
.
Теперь ссылаемся на Прасолова. Поэтому при
корни есть.
Осталось доказать, что в других случаях корней нету. И мне не нравится использование формулы Кардано, и вообще я какой-то простой многочлен взял, раз получились кубические корни из единицы. Надо другой взять.