2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Кратный ряд как решение дифференциального уравнения
Сообщение08.03.2010, 22:25 
Аватара пользователя
Добрый вечер!Недавно меня заинтересовала одна задача. Пусть имеем кратный ряд $$I(x,y,z)=\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\sum_{j=-\infty}^{+\infty}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{1}{i(ix^i+jy^i+kz^i)}.$$Легко проверить, что данная сумма удовлетворяет дифференциальному уравнению
$$x\frac{dI(x,y,z)}{dx}+y\frac{dI(x,y,z)}{dy}+z\frac{dI(x,y,z)}{dz}=-I(x,y,z).$$Так вот, мне бы хотелось знать, как решить данное дифференциальное уравнение и найти все решения данного уравнения не прибегая к данному ряду, то есть можно ли найти явный вид ряда $I(x,y,z)?$

 
 
 
 Re: Кратный ряд как решение дифференциального уравнения
Сообщение08.03.2010, 23:43 
Аватара пользователя
Между минус и плюс бесконечностью иногда можно встретить ноль. Ноль в знаменателе грозит бедой. Мойте дроби перед едой.
Объяснитесь.

 
 
 
 Re: Кратный ряд как решение дифференциального уравнения
Сообщение09.03.2010, 00:34 
Аватара пользователя
Объясняюсь $i\not = 0 $

 
 
 
 Re: Кратный ряд как решение дифференциального уравнения
Сообщение09.03.2010, 00:44 
Это дифференциальное уравнение для однородных функций порядка -1. Решение есть, например, в книге Камке (1966).

 
 
 
 Re: Кратный ряд как решение дифференциального уравнения
Сообщение09.03.2010, 13:56 
Аватара пользователя
В таком случае ряд по j и k расходится по типу гармонического, и даже если на это наплевать - формально не удовлетворяет диффуру.
А диффур известный, см. то, что Mikhail Sokolov сказал. Решение простое.

 
 
 
 Re: Кратный ряд как решение дифференциального уравнения
Сообщение09.03.2010, 15:18 
Аватара пользователя
Прошу прощения! Перепутал ряды. Вот истинный ряд
$$I_n(x,y,z)={\sum_{i=-\infty}^{+\infty}\sum_{j=-\infty}^{+\infty}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}}_{i,j,k\not=0}\frac{1}{i^nx+j^ny+k^nz}.$$
Диффур будет тот же
$$x\frac{dI(x,y,z)}{dx}+y\frac{dI(x,y,z)}{dy}+z\frac{dI(x,y,z)}{dz}=-I(x,y,z).$$
За справочник спасибо! Смотрел.

 
 
 
 Re: Кратный ряд как решение дифференциального уравнения
Сообщение09.03.2010, 16:41 
$u=\dfrac{1}{z} f\left( \dfrac xy,\dfrac yz\right )$ и без всякого справочника. Это ж квазилинейное первого порядка, сводится к ОДУ, см. Эльсгольц "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление".

 
 
 
 Re: Кратный ряд как решение дифференциального уравнения
Сообщение09.03.2010, 22:32 
Аватара пользователя
Не очень силен в дифференциальных уравнениях, но все равно спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group