2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Исследование задачи Коши (Филиппов, №234)
Сообщение08.03.2010, 12:49 
Не знаю как подойти к задаче из Филиппова №234. Условие:
При каких n уравнение $y^(n) = f(x, y, y^{'}, ..., y^{(n-1)})$ с непрерывно дифференцируемой функцией f может иметь среди своих решений две функции: $y_{1} = x, y_{2} = sin x$

 
 
 
 Re: Исследование задачи Коши
Сообщение08.03.2010, 12:56 
Возьмите определенное $n$ (например, 2) и исследуйте задачу Коши в точке $x=0$. Потом возьмите $n=3$, и т.д.

 
 
 
 Re: Исследование задачи Коши
Сообщение08.03.2010, 13:04 
Аватара пользователя
А что следует из теоремы Пикара для уравнения $y^{(n)}=f(x, y, y', ..., y^{(n-1)})$ с непрерывно дифференцируемой функцией $f(x, y, y', ..., y^{(n-1)})$ при $n=1$? Может ли быть $n=1$, если обе функции $x$ и $\sin x$ являются решениями?
Тот же вопрос - для $n=2$.
Потом - для $n=3$.

 
 
 
 Re: Исследование задачи Коши
Сообщение08.03.2010, 13:15 
Найдите первый номер $n$, для которого $y_1^{(n)}(0) \neq y_2^{(n)}(0)$ и воспользуйтесь теоремой об однозначной разрешимости задачи Коши.

 
 
 
 Re: Исследование задачи Коши
Сообщение08.03.2010, 13:16 
Это в одну сторону. А в другую -- полезно ещё показать на примере, что все не запрещённые явно $n$ действительно допустимы.

 
 
 
 Re: Исследование задачи Коши
Сообщение08.03.2010, 13:32 
Может и при $n=1$, если решение рассматривается на промежутке, не содержащем нуля :)

 
 
 
 Re: Исследование задачи Коши
Сообщение08.03.2010, 14:01 

(Оффтоп)

Padawan в сообщении #295842 писал(а):
Может и при $n=1$, если решение рассматривается на промежутке, не содержащем нуля :)

Архипова сюда! Тем более что:

Prorab в сообщении #268645 писал(а):
 !  Архипов,
2 месяца на осознание того, что на этом форуме запрещено выкладывать решения учебных задач.

-- срок он уж давно отсидел.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group