Математическая логика

[ivcliptika]

Требуется решить два задания:

1) Доказать формулу исчисления высказываний, используя правило подстановки и правило заключения: $A\cdot B\to B\cdot A$
2) Доказать формулу исчисления высказываний, используя правило подстановки:$(A\to(A\to B))\to((B\to(A\to B))\to(A\cup B\to(A\to B)))$

Не понимаю, какие правила нужно использовать. Я доказываю эти формулы вот так:

1) $A\cdot B\to B\cdot A=not(A\cdot B)\cup B\cdot A=not(A)\cup not(B) \cup B\cdot A=$
$not(A)\cup not(B)\cup A=1$

2) $(A\to(A\to B))\to((B\to(A\to B))\to(A\cup B\to(A\to B)))=(A\to$
$(not(A)\cup B))\to((B\to(not(A)\to B))\to(A\cup B\to(not(A)\cup B)))=$
$(not(A)\cup not(A)\cup B))\to(not(B)\cup not(A)\cup B)\to$
$(A\cup not(B)\cup(not(A)\cup B)))=(not(A)\cup B)\to1\to1=1$

Подскажите, пожалуйста, как решать это правильно?

[Maslov]

Для начала, выпишите, пожалуйста, используемую систему аксиом исчисления высказываний.

[ivcliptika]

В методических указаниях сказано, что аксиомами классического исчисления высказываний называются формулы любого из следующих видов, где А, В, С - произвольные формулы:
1) $A\to(B\to A)$
2) $(A\to(B\to C)\to((A\to B)\to(A\to C))$
3) $(A\wedge B)\to A)$
4) $(A\wedge B)\to B)$
5) $(C\to A)\to(C\to B)\to(C\to(A\wedge B))$
6) $A\to(A\vee B)$
7) $B\to(A\vee B)$
8) $(A\to C)\to(B\to C)\to((A\vee B)\to C)$
9) $(A\to B)\to(not(B)\to not(A))$
10) $A\to not(not(A))$
11) $not(not(A))\to A $

[Maslov]

Для доказательства первой формулы подставьте в аксиому 5 следующие формулы:
$A \equiv B$
$B \equiv A$
$C \equiv A \land B$
Потом воспользуйтесь аксиомами 3 и 4 и правилом вывода.

[ivcliptika]

Спасибо.
А для доказательства второй формулы какие понадобятся аксиомы?

[Maslov]

ivcliptika в сообщении #295754 писал(а):

А для доказательства второй формулы какие понадобятся аксиомы?

Попробуйте сами догадаться. Посмотрите внимательно на аксиомы: какая из них по структуре больше всего похожа на формулу, которую надо доказать?

Только у Вас в 5-й и 8-й аксиомах по одной паре скобок не хватает.
Они должна вот так выглядеть:
5) $(C\to A)\to((C\to B)\to(C\to(A\wedge B)))$
8) $(A\to C)\to((B\to C)\to((A\vee B)\to C))$