Область, заданная неравенствами

[Nogin Anton]

Здравствуйте!
Не врублюсь в тему. Подскажите пожалуйста:
Нужно построить область, заданную неравенствами:
$y=>x$;$y<=2x$;$y<=3$
Заранее большое спасибо!

[Sasha2]

Ваша область треугольник
A(0, 0), B(3/2, 3), C(3, 3)

[meduza]

$y=x$ сможете начертить? а если равно заменить на $\geqslant$? Аналогично с остальными. Их перемечение и будет искомой областью.

[Nogin Anton]

meduza в сообщении #294055 писал(а):

$y=x$ сможете начертить? а если равно заменить на $\geqslant$?

Это прямая, которая проходит через (0;0) и (1;1)
Не пойму, что будет, если равно заменить на "больше или равно"

[ИСН]

Ничего не будет. Проведите прямую. Пальцами.
Потом другую.

[meduza]

Nogin Anton в сообщении #294058 писал(а):

Не пойму, что будет, если равно заменить на "больше или равно"

$y=x$ -- прямая, $y\geqslant x$ -- половина плоскости (множество всех точек, у которых $y$ больше или равна $x$), та прямая будет границей между полуплоскостями. Определить, с какой стороны $y\geqslant x$, а с какой $\leqslant$ можно тупо -- взять любую точку с любой стороны и проверить для неё условие.

[Nogin Anton]

Посмотрите пожалуйста:
Построил область,
Затем по этой области нужно записать двойной интеграл:
\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int^3_0dx\int^{2x}_xf(x,y)dy
Ещё нужно изменить порядок интегрирования:
Я разбил область вдоль иксов на две части:
D_{ox_1}:\{0\le x\le 1.75\\ x \le y\le 2x}
D_{ox_2}:\{1.75\le x\le 3\\ x \le y\le 2x}
D_{oy}:\{0\le y\le 3\\ \frac{y}{2} \le x\le y}
В итоге получил:
\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int^{1.75}_0dx\int^{2x}_xf(x,y)dy+\int^{3}_{1.75}dx\int^{2x}_xf(x,y)dy

[ИСН]

Возникает драматический вопрос: зачем разбивали вдоль иксов на две части, если в частях одно и то же?

[Nogin Anton]

Прошу прощения, что не указал тот факт, что это требуют в задаче.
А так верно?

[meduza]

Nogin Anton в сообщении #294216 писал(а):

Ещё нужно изменить порядок интегрирования:

Вы этого не сделали. В оригинале сначала интегрируется по $y$, потом по $x$. Вам надо наоборот (посмотрите в учебниках, там должны быть такие примерчики разобраны). А в вашем разбиении на два интеграла нет вообще никакого смысла.

[Nogin Anton]

\iint_{D}_f(x,y)dxdy=\int^3_0dy\int^y_{\frac y2}f(x,y)dx=\int^3_0dy\int^{2x}_xf(x,y)dy
переделал

[ИСН]

Тут обычно рекомендуют следующее. Нарисовать эту область на плоскости координат. Заштриховать параллельно x. Нарисовать ещё одну. А эту заштриховать параллельно y. При необходимости повторить.

[Nogin Anton]

\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int^3_0dy\int^y_{\frac y2}f(x,y)dx=
=\int^{1.5}_0dx\int^{2x}_xf(x,y)dy+\int^3_{1.5}dx\int^{3}_xf(x,y)dy

-- Ср мар 03, 2010 21:59:17 --

Продолжение :wall:
Область задана неравенствами:
y\ge x^2 и y-x\le 2
D_{oy_1}:\{-1\le x\le0 \\2+x\le y\le x^2}
D_{oy_2}:\{0\le x\le2 \\2+x\le y\le x^2}
D_{ox}:\{0\le y\le4 \\y-2\le x\le \sqrt y}
\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int^0_{-1}dx\int^{x^2}_{2+x}f(x,y)dy+\int^2_{0}dx\int^{x^2}_{2+x}f(x,y)dy=\int^4_0dy\int^{\sqrt y}_{y-2}f(x,y)dx

[Nogin Anton]

Посмотрите пожалуйста:
Область: $y\ge 2x^2; x+y\le 3$
$\iint_{D}f(x,y)dxdy=\int^1_{-1.5}dx\int^{2x^2}_{3-x}f(x,y)dy=\int^2_0dy\int^{\sqrt{\frac{y}{2}}}_{-\sqrt{\frac{y}{2}}}$$f(x,y)dx+\int^{4.5}_2dy\int^{3-y}_{-\sqrt{\frac{y}{2}}}f(x,y)dx$

[meduza]

Nogin Anton в сообщении #295591 писал(а):

$\int^1_{-1.5}dx\int^{{\color{blue}2x^2}}_{{\color{blue}3-x}}f(x,y)dy$

Почему такой порядок?