Идеалы в C[a,b]

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #295436 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #295428 писал(а):

Padawan в сообщении #295414 писал(а):

Наоборот, как максимальная топология, при которой $p$ непрерывно. Т.е. по определению $U\subset X$ открыто тогда и только тогда, когда $p^{-1}(U)$ открыто. Больше никаких открытых в $X$ быть не может (иначе $p$ уже не будет непрерывной).

То есть чем больше открытых множеств, тем топология меньше. Понял, больше не перепутаю

Странно, а почему именно такая терминология. Ведь топология --- это, по определению, семейство открытых множеств.

Все правильно, чем больше открытых множеств, тем топология больше = сильнее = тоньше ... В фактор-пространстве и вводится сильнейшая топология, при которой проекция $p\colon [a,b]\to X$ непрерывна. Все $U$, для которых $p^{-1}(U)$ открыто туда можно засунуть, а вот больше - уже нельзя.

Ой, ёлки!.. Разобрался. Мы же не на прообразе, а на образе топологию задаём! А у меня обратная картинка в голове, теперь вижу, что ошибочная

-- Вс мар 07, 2010 15:03:09 --

Всё равно хаусдорфовость понятна Мы же по сути тупо схлопываем замкнутое множество в точку, и всё, ничего больше не делаем. А топология на $[a,b]$ --- она из класса $T_3$, даже $T_4$, поэтому даже любые два замкнутых подмножества можно окрестностями разделить, а уж замкнутое подмножество и точку вне него отделить и подавно сумеем. И вот эти разделяющие окрестности тупо перенесутся на $X$, так что всё очевидно.

-- Вс мар 07, 2010 15:11:02 --

Такой вопрос теперь стал интересен. Если брать различные замкнутые $S \subseteq [a,b]$ и рассматривать указанную факторизацию $[a,b]/S$, то какие топологические пространства (с точностью до гомеоморфизма) будем получать? Если брать $S$ связным, то понятно, что будет получаться тот же отрезок. А если, наоборот, абсолютно несвязным, типа канторовское совершенное множество, что тогда?

[Padawan]

Тогда получится счетное число окружностей с диаметрами, стремящимися к нулю, и проходящими через одну точку (эта точка как раз соответствует множеству $S$). Плюс два отрезка могут из этой точки выходить, если $a,b\not\in S$.

[Профессор Снэйп]

Ага, так и есть. А для произвольного $S$ либо то же самое, либо конечное число окружностей (с возможностью тех же самых усиков-отрезков).

А если замкнутое $S$ не из отрезка, а из квадрата вырезать, какие там пространства получаться будут? Если, например, взять $S$ равным границе квадрата, то вроде сфера получится. А если две противоположных стороны квадрата, это что за зверь? Не обычная двухсторонняя лента и не лента Мёбиуса, а какой-то странный гибрид их обоих... А что ещё можно?

[Padawan]

Для произвольного (незамкнутого) $S$ плохое пространство получается (не $T_1$): одноточечное множество $\{S\}$ незамкнуто в $X$.

[Профессор Снэйп]

Имелось в виду "произвольное замкнутое"