Наоборот, как
максимальная топология, при которой

непрерывно. Т.е. по определению

открыто тогда и только тогда, когда

открыто. Больше никаких открытых в

быть не может (иначе

уже не будет непрерывной).
То есть чем больше открытых множеств, тем топология меньше. Понял, больше не перепутаю

Странно, а почему именно такая терминология. Ведь топология --- это, по определению, семейство открытых множеств.
Все правильно, чем больше открытых множеств, тем топология больше = сильнее = тоньше ... В фактор-пространстве и вводится сильнейшая топология, при которой проекция
![$p\colon [a,b]\to X$ $p\colon [a,b]\to X$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/327c03c876e2fb67c47779996288522082.png)
непрерывна. Все

, для которых

открыто туда можно засунуть, а вот больше - уже нельзя.
Ой, ёлки!.. Разобрался. Мы же не на прообразе, а на образе топологию задаём! А у меня обратная картинка в голове, теперь вижу, что ошибочная
-- Вс мар 07, 2010 15:03:09 --Всё равно хаусдорфовость понятна

Мы же по сути тупо схлопываем замкнутое множество в точку, и всё, ничего больше не делаем. А топология на
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
--- она из класса

, даже

, поэтому даже любые два замкнутых подмножества можно окрестностями разделить, а уж замкнутое подмножество и точку вне него отделить и подавно сумеем. И вот эти разделяющие окрестности тупо перенесутся на

, так что всё очевидно.
-- Вс мар 07, 2010 15:11:02 --Такой вопрос теперь стал интересен. Если брать различные замкнутые
![$S \subseteq [a,b]$ $S \subseteq [a,b]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/2/ab2b44a8b8b1a0d3b22ec14f87e3a1eb82.png)
и рассматривать указанную факторизацию
![$[a,b]/S$ $[a,b]/S$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/c/07c9275b6bba2e6c44b7084786dd502d82.png)
, то какие топологические пространства (с точностью до гомеоморфизма) будем получать? Если брать

связным, то понятно, что будет получаться тот же отрезок. А если, наоборот, абсолютно несвязным, типа канторовское совершенное множество, что тогда?