Конформно плоскость Z в плоскость W

[Padawan]

Это следует из того, что функция $f$ аналитична всюду кроме одной точки $C$ (которая переходит в бесконечность) и в точке $C$ у нее будет простой полюс (так как она однолистна). По теореме Лиувилля $f(z)=A+\dfrac {B}{z-C}$

[Профессор Снэйп]

Извиняюсь, но я не понял

Давайте начнём с более простого случая, мне интересно разобраться. И будем писать всё подробно. Я прошу прощения за такое детство, но почти 18 лет ТФКП не вспоминал, как сдал его в 1992 году, так и забыл с тех пор.

Пусть $f$ конформно отображает $\mathbb{C}$ на $\mathbb{C}$. Надо доказать, что $f(z) = az + b$ для некоторых $a,b \in \mathbb{C}$.

Конформность по определению означает, что $f$ есть гомеоморфизм (в нашем случае $\mathbb{C}$ на $\mathbb{C}$), у которого в каждой точке имеет место консерватизм углов и постоянство искажения (прям вспомнил определение со второго курса!) Из последних двух свойств (если я правильно помню смысл понятий) следует, что $f$ голоморфна на $\mathbb{C}$ (то есть является целой), причём производная в каждой точке не равна нулю.

А что делать дальше, я пока не вижу Теорема Лиувилля, которую Вы советуете применить, вроде утверждает, что если целая функция ограничена на $\mathbb{C}$, то она является константой. Но у нас-то вроде ограниченности нет! Как к ней прийти?

-- Вс мар 07, 2010 11:42:28 --

Если, например, рассмотреть $g(z) = f(z) - f'(0)z$, то как показать, что $g$ является ограниченной? Или тут что-то другое надо?

[Padawan]

Профессор Снэйп У меня такое чувство, что Вы меня разыгрываете


В бесконечности у целой функции может быть

1) устранимая точка --> она константа, и нас этот случай не устраивает
2) существенно особая точка --> тогда по теореме Сохоцкого-Вейерштрасса-Казорати она не может быть однолистной.
3) полюс порядка >1 --> не однолистна.

4) полюс порядка 1--> $f(z)=az+b+g(z)$, где функция $g(z)$ целая и $\lim\limits_{z\to\infty}g(z)=0$. По теореме Лиувилли $g(z)\equiv 0$.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #295385 писал(а):

Профессор Снэйп У меня такое чувство, что Вы меня разыгрываете...

Напрасно!

Вы вот сейчас с ходу можете объяснить... ну, например, сводимость по Тьюрингу, полурешётку $T$-степеней, формулировку теоремы Фридберга-Мучника и т. п. А ведь в каждом учебнике по теории вычислимости есть! ТФКП для меня --- такой же тёмный лес, я его сдал на третьем курсе и больше не прикасался, все интересы ушли в матлогику Сам предмет поразил меня тогда своей неимоверной красотой, особенно понравилось интегралы ТФКаПными методами брать. Но потом наши пути разошлись...

-- Вс мар 07, 2010 12:26:15 --

Сейчас буду вспоминать, что такое существенно особая точка, полюс и т. д.

-- Вс мар 07, 2010 12:38:27 --

Кажется, начинаю вспоминать

Берём разложение цeлой функции в степенной ряд $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$. Это же разложение можно считать разложением в ряд Лорана в проколотой окрестности бесконечно удалённой точки (а коэффициенты --- коэффициентами при отрицательных степенях). То есть существенно особая точка --- это когда бесконечное число $a_n$-ых отличны от нуля, а полюс порядка $n$ --- это когда $a_n \neq 0$ и $a_i = 0$ при всех $i > n$.

Теорему Сохоцкого-Вейерштрасса (без Казорати ) нашёл в Вики. Понял, осознал

Третий пункт с полюсом порядка $> 1$ тоже понял, при больших $|z|$ старшая степень забьёт все остальные и однолистности не будет (я бы сказал, что не будет инъективности )

Остаётся полюс порядка $1$. Только я теперь не понимаю, зачем у Вас такая сложная аргументация, с введением дополнительной функции $g$ и ссылкой на теорему Лиувилля. Разве полюс порядка $1$ в бесконечно удалённой точке для целой функции по определению не означает, что функция линейна?

-- Вс мар 07, 2010 12:47:25 --

С дробно-линейным отображением $\overline{\mathbb{C}}$ на $\overline{\mathbb{C}}$ тоже понятно стало. Спасибо