Конформно плоскость Z в плоскость W

[Gravist]

Прошу проверить. Слишком давно не занимался. Чувствую - где то ошибка...
Условие: Отобразить пучок прямых $y=kx , при (-\infty\<k<+\infty)$ , проходящих через начало координат плоскости $Z$, в пучок кривых,
проходящих через начало координат плоскости $W$.
При этом:
- ось $y$ преобразуется в ось $y'$ без изменений,
- ось $x$ преобразуется в $y'=ln(1-x'^2)$,
- прямая $y= x$ преобразуется в $y'=ln(1+x')$,
- прямая $y=-x$ преобразуется в $y'=ln(1-x')$.

Вывод формулы преобразующей функции.

Для того чтобы кривая получилась в явном виде
$y=ln(1-x^2)$,
будем искать преобразование в виде:
$x'=a_1 x_0+b_1 y_0$ , (*)
$y'=ln(1-Ax_0^2-By_0^2-Cx_0-Dy_0)$ , (**)
т.к. ось OY⇒OY', и учитывая. что конформное отображение точки пересечения отображает в точки пересечения (т.е. (0,0) ⇒ (0,0)), получим:
$x_0=0,y_0=N$; ⇒$0=x'=a_1∙0+b_1∙N$,
$(N>0)$ - произвольное действительное число.

Oткуда получаем, что $b_1=0$; для упрощения можно положить $a_1=1$, т.к. при подстановке его в уравнение(**) получим новые неизвестные коэффициенты $A'=A/a_1$ и $C'=C/a_1$ , от чего задача не меняется.
Итак, новая система имеет вид :
$x'=x_0$ , (*)'
$y'=ln(1-Ax_0^2-By_0^2-Cx_0-Dy_0)$ (**)'

Теперь подставим в уравнение (**)' ось OX:
$x_0=N=x^'$,$y_0=0$;
$y'=ln(1-Ax'^2-Cx')=ln(1-x'^2)$
получим что:
$A=1$, $C=0$.

Подставим в уравнение (**)’ прямую $y=x$,$x>0$:
$x_0=N=x'=y_0$; ⟹$y'=ln(1-x'^2-Bx'^2-Dx')=ln(1-x')$,
откуда получим:
$B=-1$; $D=1$;

Окончательно:
$x'=x_0$ ,

$y'=ln(1-x_0^2+y_0^2-y_0)$.

⟹$y'=ln(1-x_0^2+k^2 x_0^2-kx_0 )=ln(1-x_0^2 (1-k^2 )-kx_0)$.

Искренне благодарю за потраченное на меня время.

[Профессор Снэйп]

Что там за квадратики такие? Копипаста... Откуда? Сюда вообще нехорошо копипастить, я бы на месте модераторов подобные вещи запретил.

-- Ср мар 03, 2010 22:02:01 --

Gravist в сообщении #294240 писал(а):

Прошу проверить. Слишком давно не занимался. Чувствую - где то ошибка...

Это не Ваше решение, иначе бы квадратиков не было! Кто после этого возьмётся что-то проверять?

[Gravist]

Профессор Снэйп в сообщении #294251 писал(а):

Что там за квадратики такие? Копипаста... Откуда? Сюда вообще нехорошо копипастить

Только учусь, извините... Исправлюсь в дальнейшем, и поясните, пожалуйста:
Что там за квадратики такие? О чем речь?
Копировал со своего Вордовского листа, потом 2 часа подгонял в Tex

[Padawan]

А почему конформно-то? Вы сначала определитесь что (какую область) Вы хотите отобразить и куда (на какую область).

То, что Вы написали -- это не конформное отображение.

[Maslov]

Gravist в сообщении #294253 писал(а):

Что там за квадратики такие? О чем речь?

Скорее всего, речь идёт о наборе некоторых мат. символов юникодом вместо TeX'a:

Цитата:

(0,0) ⇒ (0,0)

Некоторые браузеры отображают вместо таких символов квадратики, поэтому все формулы надо набирать только через TeX:

$(0, 0) \Rightarrow (0, 0)$

$(0, 0) \Rightarrow (0, 0)$

[Gravist]

Максим Маслов, Вам действительно спасибо. При переходе в TeX, я не мог найти

Maslov в сообщении #294304 писал(а):

... через TeX:

$(0, 0) \Rightarrow (0, 0)$

$(0, 0) \Rightarrow (0, 0)$

Профессор Снэйп, не ожидал подобной отписки, на такое воспитанные люди не реагируют:

Профессор Снэйп в сообщении #294251 писал(а):

Это не Ваше решение, иначе бы квадратиков не было! Кто после этого возьмётся что-то проверять?

Padawan в сообщении #294263 писал(а):

А почему конформно-то? Вы сначала определитесь что (какую область) Вы хотите отобразить и куда (на какую область).
То, что Вы написали -- это не конформное отображение.

Уважаемый Padawan, меня интересует именно отображение плоскости на плоскость, что отражено в заголовке темы. Что же касается конформности найденной отображающей функции, то:
- она аналитична в окрестности точки пересечения кривых,
- сохраняет углы между кривыми.

[Padawan]

Конформное отображение плоскости на плоскость - это дробно-линейное отображение вида $w=\frac {az+b}{cz+d}$. Если есть дополнительное условие $w(0)=0$, то $w=az$.

Если же Вам нужно конформность только в точке $z=0$, то да.

Но Ваше отображение в точке $x_0=10, y_0=1$ не определено.

И вообще, взаимно-однозначно отобразить плоскость $z$ на плоскость $w$ так , чтобы указанные Вами прямые перешли в указанные кривые невозможно. Куда отобразятся прямые $y=kx, k>0$ ?

[Gravist]

Padawan в сообщении #294542 писал(а):

...взаимно-однозначно отобразить плоскость $z$ на плоскость $w$ так , чтобы указанные Вами прямые перешли в указанные кривые невозможно...

Значит, и это мое направление не верно. Дробно-линейное пробовал. Куда бы направиться? Вернусь к постановке задачи!
А тема пусть пока постоит, м.б. мозговая атака и сработает.
Спасибо.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #294542 писал(а):

Конформное отображение плоскости на плоскость - это дробно-линейное отображение вида

Любое конформное отображение плоскости на плоскость дробно-линейно? Мне почему-то всегда казалось, что это не так.

[Padawan]

Если не разрешать никакой конечной точке отображаться в бесконечность, т.е. отображение конечной плоскости на конечную плоскость, то вообще только линейное отображение $w=az+b$.

[Профессор Снэйп]

Не, ну понятно, что речь идёт про расширенную комплексную плоскость.

А как доказывается, что любое конформное отображение дробно-линейно (линейно, если не рассматривать бесконечно удалённые точки)? Забыл уже ТФКП

[Полосин]

Профессор Снэйп, дело в том, что если потребовать, чтобы заданная точка переходила в заданную точку, и задать аргумент производной в этой точке, то конформное отображение единственно (теорема Римана). А поскольку можно построить дробно-линейное отображение, удовлетворяющее указанным требованиям, то это оно и есть.

[Padawan]

Полосин
Но это для отображения односвязной области $D\subset \overline{\mathbb{C}}$, граница которой содержит более одной точки.

А ведь у нас речь идет об отображении римановой сферы $\overline{\mathbb{C}}$.

А для отображений римановых поверхностей какие теоремы единственности есть?

Например, отображение $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, переводящее ноль в ноль c $\arg w'=0$ неединственно: $w=az$, $a>0$.

[Полосин]

Padawan, возможно, я упускаю какие-то детали, но давайте выколем две точки $z_1$ и $z_2$, которые переходят в $0$ и $\infty$ соответственно, тогда оставшаяся область подпадает под теорему Римана, и стало быть, $w=k\dfrac{z-z_1}{z-z_2}$, где $k$ произвольно. Если $\infty\rightarrow\infty$, то $w=k(z-z_1)$.

[Профессор Снэйп]

Полосин в сообщении #295164 писал(а):

конформное отображение единственно (теорема Римана).

Спасибо. Я просто формулировку теоремы Римана плохо помнил. Знал, что она утверждает существование конформного отображения, а про единственность забыл

-- Вс мар 07, 2010 07:54:59 --

Полосин в сообщении #295183 писал(а):

...давайте выколем две точки $z_1$ и $z_2$, которые переходят в $0$ и $\infty$ соответственно, тогда оставшаяся область подпадает под теорему Римана...

Посмотрел теорему Римана в Википедии. Там вроде требуется, чтобы область была односвязной, а после выкалывания точек односвязности не будет!

-- Вс мар 07, 2010 07:59:18 --

Короче, если я правильно понял возражение Padawan, то ссылка Полосина на теорему Римана здесь неуместна. Как тогда доказывать, что всякое конформное отображение $\overline{\mathbb{C}}$ на себя есть дробно-линейная функция (а всякое конформное отображение $\mathbb{C}$ на себя --- линейная функция)?