Интегралы и трансцендентные числа

[frankusef]

Достаточно давно подметил одну закономерность. Возьмем, например, иррациональное уравнение

$$y=\sqrt[2]{x+a}+\sqrt[2]{x+b}.$$

После конечных операций возведения в квадрат, извлечения корней придем к алгебраическому уравнению от x. Подобным же образом можно решить большое количество уравнений с радикалами и при этом получим алгебраические уравнения, от x разумеется (в общем случае: конечно, например, сумма радикалов $y=\sqrt[2]{x+a}+\sqrt[2]{x+b}+\sqrt[2]{x+c}+\sqrt[2]{x+d}+\sqrt[2]{x+e}$ , где а,b,c,d,e - действительны, не является алгебраическим числом). То есть, выражаясь проще, такими преобразованиями можно показать алгебраичность(трансцендентность) только выражений с радикалами,так сказать грубым методом. А если взять функцию типа $f=\int f_1\int f_2$, то после конечных операций дифферениирования и интегрирования получим ''безинтегральное'' уравнение, при этом рассматривая интеграл не как функцию, а как расширение (если вы знакомы с дифференциальной теорией Галуа). Тут, я считаю, есть тонкая связь между интегралами(а может быть и дробными производными, если выражаться поточнее!) и радикалами.
Вот мое построение. Функция y=f(x) называется алгебраическим интерпретатором, если она является корнем хотя бы одного дифференциального уравнения вида $\sum_{i=1}^{n}g_i(x)y^{(i)}(x)=d(x)$, где функции $d(x)$, $g_i(x)$ - элементарные функции, а функция y=f(x) не обязательно элементарная. Будем писать $t(x)$$\in \mathbb{EL_+}$$$, если функция $t(x)$ - элементарна и $t(x)$$\in \mathbb{EL_-}$$$ у противном случае. Дифференциальный полином $I_n(x)=\sum_{i=1}^{n}g_i(x)y^{(i)}(x)-d(x)$ будем называть алгебраическим интерпретантом, если $d(x),g_i(x)\in \mathbb{EL_+}$. Степенью трансцендентности интерпретанта$I_n(x)$ назовем показатель n, то есть высший порядок производной у полиноме.
Я вот себе подумал, а нельзя ли найти отображение(гомоморфизм, изоморфизм...это не главное) какого то класса не элементарных функций трансцендентных чисел на какой то класс не элементарных функций, отталкиваясь от предложенного мною построения и степени трансцендентности. И тогда в принципе можно ''паралелизировать'' проблему доказательства трансцендентности чисел.

-- Вт мар 02, 2010 20:56:34 --

Я тут подумал, может кто нибудь знает об оценках степени трансцендентности, определенному в моей терминологии. Так наверное будет легче делать какие то выводы об отображении.
И еще, чтобы построить данное отображении нужно хотя бы знать вид элементов образа и прообраза искомого отображения. Мне кажется, что то типа этого

$$f={(\int f_1)}^{a_1}{(\int f_2)}^{a_2}*...*{(\int f_r)}^{a_r}$$

[e-di]

что такое ЕL+ ?

[frankusef]

ЕL+ это класс элементарных функций (по Лиувиллю).

[e-di]

я интересуюсь трансцендентностью но твоя идея выходит за рамки моего знания математики

нужно будет разобраться