доказать (gris'овы шкатулочки с бусинками)

[f_student]

Пусть сумма цифр натурального числа $N$ равна $s(N)$. доказать, что для любых натуральных чисел А и В справедливо $s(A+B)=s(A)+s(B)-9k$, где k - количество переходов единицы в старший разряд при сложении А и В в столбик.

[TOTAL]

Здесь ничего не надо доказывать. Это всё равно, что доказывать, что в кармане лежат два яблока, если известно, что в кармане лежат два яблока.

[gris]

а вот доказательство для гламурных девочек.
Представим каждое число в виде набора шкатулочек с бусинками. Первая шкатулочка для единиц, вторая для десятков, третья для сотен и так далее. Количество бусинок обозначает значение каждого разряда. Общее количество бусинок равно сумме цифр числа.
Теперь сложим два числа. По переместительному и сочетательному законам мы можем ссыпать шкатулочки попарно. Единички с единичками, десятки с десятками. Пустые шкатулочки отставим в сторону.
Теперь наведём порядочек в шкатулочках. Если в шкатулочке больше 9 бусинок, то вынем 10. Одну бусинку положим в следующую по порядку шкатулочку, а девять в китайское фарфоровое блюдечко с дракончиками. Порядок наводим до тех пор, пока не наведём полностью. Иногда случается подставить ещё одну шкатулочку.
И вот в конце считаем бусинки в шкатулочках и в блюдечке. Если ни одна не закатилась под стол, то делаем вывод. Способ позволяет складывать сразу несколько чисел.
Вот.Что у девочек означает ЧТД