Многомерная модель рынка

[Alexey1]

Здравствуйте!
Если на рынке имеется $n$ активов, то цена каждого моделируется как
$dS_i(t)=a_i(t)S_i(t)dt+S_i(t)\sum_{j=1}^d\sigma_{ij}(t)dW_j(t), i=1,...,n$
1. Что такое волатильности (ковариации) $\sigma_{ij}(t)$, то есть зависимость чего с чем?
2. Как определяется размерность многомерного вектора броуновского движения?

[finanzmaster]

1. Взаимозависимость цен $i$-й и $j$-й акции. Скажем, на примере немецкого рынка, акции Deutsche Bank и Commerzbank коррелируют очень сильно, а вот Deutsche Bank и Merck(фармацевтическая фирма) - гораздо слабее.
2. В Вашей формуле, показателем $d$
Ну а вообще стараются моделировать по принципу n-акций - n-мерное броуновское движение.
Потому что в этом и только в этом случае модель полна (то есть любой ограниченный contingent claim, например, опцион можно захеджировать(реплицировать) портфелем, состоящим из акций и безрискового бонда)

[Alexey1]

Спасибо за ответ. По идее ответ на первый вопрос верный, но вот как это показать.
$d(S_i(t)S_k(t))=S_i(t)dS_k(t)+S_k(t)dS_i(t)+dS_i(t)dS_k(t)$,
$S_i(t)dS_k(t)=a_k(t)S_i(t)S_k(t)dt+S_i(t)S_k(t)\sum_{j=1}^d\sigma_{kj}(t)(t)dW_j(t)$,
$S_k(t)dS_i(t)=a_i(t)S_i(t)S_k(t)dt+S_i(t)S_k(t)\sum_{j=1}^d\sigma_{ij}(t)(t)dW_j(t)$,
$dS_i(t)dS_k(t)=S_i(t)S_k(t)\sum_{j=1}^d\sigma_{ij}(t)\sigma_{kj}(t)dt$
Отсюда получаем,
$S_i(t)S_k(t)=\int_0^t S_i(s)dS_k(s)+\int_0^t S_k(s)dS_i(s)+\int_0^t S_i(s)S_k(s)\sum_{j=1}^d\sigma_{ij}(s)\sigma_{kj}(s)ds$,
$Cov(S_i(t),S_k(t))=E((S_i(t)-E(S_i(t))(S_k(t)-E(S_k(t)))=E(S_i(t)S_k(t))-E(S_i(t))E(S_k(t))$
$E(S_i(t)S_k(t))=E \int_0^t a_k(s)S_i(s)S_k(s)ds +E \int_0^t a_i(s)S_i(s)S_k(s)ds +E \int_0^t S_i(s)S_k(s)\sum_{j=1}^d\sigma_{ij}(s)\sigma_{kj}(s)ds$
$E(S_i(t))=S_i(0)+E \int_0^t a_i(s)S_i(s)ds, E(S_k(t))=S_k(0)+E \int_0^t a_k(s)S_k(s)ds$
Таким образом,
$Cov(S_i(t),S_k(t))=E \int_0^t a_k(s)S_i(s)S_k(s)ds +E \int_0^t a_i(s)S_i(s)S_k(s)ds +E \int_0^t S_i(s)S_k(s)\sum_{j=1}^d\sigma_{ij}(s)\sigma_{kj}(s)ds -(E \int_0^t a_i(s)S_i(s)ds)(E \int_0^t a_k(s)S_k(s)ds)$, при условии $S_i(0)=0, S_k(0)=0$.
И вот как считать эти интегралы? Может существует более простой способ подсчёта ковариации ценных бумаг этой модели?

Что касается второго вопроса, то модель является полной если любая производная ценная бумага может быть захеджирована. Она может быть захеджироваа если существует риск-нейтральная вероятностная мера. Для получения этой меры надо решить уравнения рыночной цены риска (market price of risk equations), что не означает равенство $n=d$.

[Alexey1]

Кстати $dS_i(t)dW_j(t)=S_i(t)\sigma_{ij}(t)dt, \frac{dS_i(t)}{S_i(t)}dW_j(t)=\sigma_{ij}(t)dt$. И как называется $\frac{dS_i(t)}{S_i(t)}dW_j(t)$?
И по моему предыдущему сообщению, вероятностная мера должна быть единственна для рыночной модели чтобы быть полной.

[Евгений Машеров]

"Сигма" считается не по ценам, а по логарифмическим доходностям.

[finanzmaster]

Евгений Машеров в сообщении #281615 писал(а):

"Сигма" считается не по ценам, а по логарифмическим доходностям.

jawohl

-- Вт янв 19, 2010 15:53:03 --

Alexey1 в сообщении #281476 писал(а):

Что касается второго вопроса, то модель является полной если любая производная ценная бумага может быть захеджирована. Она может быть захеджироваа если существует риск-нейтральная вероятностная мера. Для получения этой меры надо решить уравнения рыночной цены риска (market price of risk equations), что не означает равенство $n=d$.

Если существует риск-нейтральная вероятностная мера - то рынок "всего лишь" arbitrage free.
А вот если она единственная, то тогда (и только тогда) - полон.

А для этого надо, чтобы число акций было равно числу случайных факторов. И еще riskless bond нужен.
Да, и еще по-моему ковариационная матрица должна быть не сингулярна.
Когда-то я в свое время все это честно просчитал - ничего сложно нет, просто большие формулы.
Во втором томе Shreve должно быть подробно расписано

[Alexey1]

Евгений Машеров в сообщении #281615 писал(а):

"Сигма" считается не по ценам, а по логарифмическим доходностям.

Ну это если одномерная модель. Или такая же формула есть и для многомерной модели?

finanzmaster в сообщении #281641 писал(а):

Если существует риск-нейтральная вероятностная мера - то рынок "всего лишь" arbitrage free.
А вот если она единственная, то тогда (и только тогда) - полон.

Прочитайте моё третье сообщение. Там же кстати я написал про то как можно интерпретировать $\sigma_{ij}$, но вот как это называется?

finanzmaster в сообщении #281641 писал(а):

А для этого надо, чтобы число акций было равно числу случайных факторов. И еще riskless bond нужен.
Да, и еще по-моему ковариационная матрица должна быть не сингулярна.
Когда-то я в свое время все это честно просчитал - ничего сложно нет, просто большие формулы.
Во втором томе Shreve должно быть подробно расписано

А из чего следует необходимость равенства числа акций числу броуновских движений, математически? В книгах по финансовой математике о таком равенстве ничего не говорится.

[Шимпанзе]

finanzmaster в сообщении #281459 писал(а):

1. Взаимозависимость цен -й и -й акции. Скажем, на примере немецкого рынка, акции Deutsche Bank и Commerzbank коррелируют очень сильно, а вот Deutsche Bank и Merck(фармацевтическая фирма) - гораздо слабее.

Можно узнать, откуда такие сведения? Если не из собственной практики, то где можно ознакомиться с корреляциями других акций?

[finanzmaster]

Alexey1 в сообщении #281665 писал(а):

А из чего следует необходимость равенства числа акций числу броуновских движений, математически? В книгах по финансовой математике о таком равенстве ничего не говорится.

Счас глянул Шрив'а, начиная со стр. 226
Да, похоже и впрямь может быть $m \ne d$ - и тем не менее, рынок полон.
Блин, начинаю забывать теорию, надо будет повнимательнее Шрива почитать на досуге, да свои старые записи поднять.

-- Вт янв 19, 2010 18:45:14 --

Шимпанзе в сообщении #281687 писал(а):

Можно узнать, откуда такие сведения? Если не из собственной практики, то где можно ознакомиться с корреляциями других акций?

Понаблюдайте пару недель вот тут

[finanzmaster]

Глянул в свою тетрадку, там сказано, что решение есть в частности, когда число акций равно числу компонентов многомерного BM $m = d$.
В этом равенстве есть большой практический смысл; [в credit risk models] считается, что случайный нормальный компонент (путем нормировки приводится к N(0,1)), движущий цену $i$-акции можно представить так $X_i = \rho_iM + \sqrt{(1-\rho_i^2)}Y_i$

Тогда $M$ и $Y_i$ - тоже распределены $N(0,1)$. Причем $M$ - это общерыночный случайный компонент, а $Y_i$ - idiosyncratic risk, то есть для каждой акции свой.
В такой модели легко считать корреляцию отдельной акции с рынком ($\rho_i$), двух акций друг с другом и т.п.

Так что если хотите практики, берите $m = d$ - не прогадаете.
Ну а если хотите строго изучить теорию, начните со Шрива, а потом ищите более формальную литературу, т.к. Шрив не все доказывает.
У меня, к сожалению, в ближайшем будущем не будет времени, чтобы тряхнуть стариной, да припомнить технические детали доказательств.

[Шимпанзе]

Предположим, ежедневное относительное изменение цен $i$ -й и $j$ акций «коррелирует» строго линейно следующим образом:
$S_i=aS_j +c; -1<a <0, 0<c<1 .$
Какова должны быть долгосрочная стратегия на рынке по продаже -покупки этих двух акций?

[Шимпанзе]

Задал сложный или неясный вопрос?

[bubu gaga]

Где у Вас изменение цены акций? $S_i \equiv \Delta S_i$?

[Шимпанзе]

$S=C_k/C_{k-1}$,

где $C_k$ - стоимость акции "сегодня", $C_{k-1}$ - стоимость акции "вчера". Так понятнее?