Теория вероятностей

[Julianna_]

Здравствуйте!!!
Есть задача:Случайная точка А имеет в круге радиуса R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния р точки до центра круга. Показать, что величина $p^2$ равномерно распределена на отрезке $[0, R^2]$.
Мат ожидание и дисперсию нашла, а вот с вопросом:"Показать, что величина $p^2$ равномерно распределена на отрезке $[0, R^2]$." не могу справиться. Помогите, пожалуйста

[gris]

Напишите функцию распределения $p^2$ по определению.

[Julianna_]

F=(двойной интеграл)$SS_{\sqrt{x^2+y^2}<t}$f(x,y) dxdy, а потом не могу понять по каким интервалам вычислять интеграл. Здесь f(x,y)=1/п$R^2$ , выносится как константа из под знака интеграла

[gris]

Можно без интеграла (либо перейти в нём к полярным координатам). Вероятность попадания точки в область пропорциональна площади области. Площадь круга радиуса $x$ равна $\pi x^2$.
Ну вот отсюда.

[ewert]

И, кстати, не $\sqrt{x^2+y^2}<t$, а просто $x^2+y^2<t$.

[Julianna_]

Т.е. функция распределения $p^2$ будет:F=п*${(x^2+y^2)}^2$. Правильно или нет?

[ewert]

Отнюдь. Начнём с того, что эта функция должна зависеть только от одной какой-нибудь переменной. Кроме того: чему должно быть равно максимальное значение этой функции?... и каково оно у Вас?...

И, пожалуйста, окружайте долларами формулы целиком -- Ваши смешения французского с нижегородским выглядят не вполне прилично.

И для сведения:

$\int$ $\iint$ \pi$

$\int$ $\iint$ \pi$

[gris]

$F(t)=P(p^2\leqslant t)=P(p\leqslant \sqrt t)=S(r\leqslant \sqrt t)/\pi R^2=1/R^2\cdot t$
$F(t)\big|_{t<0}=0$ - ясно почему?
$F(t)\big|_{t>R^2}=1$ - ясно почему?
Ну и что дальше?

[Julianna_]

Спасибо. Мне вот эта запись непонятна:$S(r$\le$\sqrt{t})/$\pi$R^2$

[gris]

Это отношение площади круга радиусом $\sqrt t$ к площади всего круга (нормировка вероятности)

[Julianna_]

Ясно.Я так понимаю, что этот результат и показывает равномерное распределение $p^2$ в интервале от 0 до $R^2$?

[gris]

Ну смотря что Вы считаете равномерным распределением.

[Julianna_]

Ну если быть точнее....Система двух случайных величин называется равномерно распределенной на плоскости, если ее плотность вероятности f(x, y) = const внутри некоторой области и равна 0 вне ее.
Ну так как $f(x,y)={(F(t))}^'$ для $p^2$, то $f(x,y)=1/R^2=const$. Я думаю, что так. Если неправильно, исправте пожалуйста

-- Вс фев 28, 2010 18:12:49 --

Так правильно или нет?

[gris]

Ну почти так. Только это не система. Это одна одномерная случайная величина. Положение точки на плоскости это двумерная или система двух одномерных. А вот расстояние от точки до центра и квадрат этого расстояния это одномерная СВ. Она равномерно распределена, если плотность равна константе на некотором отрезке, а вне его равна нулю. Ну или функция распределения имеет вид, как у Вас получилось.

$f(t)\big|_{t\in[0;R^2]}=1/R^2$

[Julianna_]

Ну все, я поняла...Спасибо огромное