Система ОДУ

[smile]

есть три функции $\phi, \psi, \theta$ времени, для них необходимо разрешить систему трех уравнений
$\theta'cos\phi + \psi' sin\theta sin\phi = 0$
$-\theta'sin\phi + \psi' sin\theta cos\phi = \omega_{0}$
$\phi' + \psi'cos\theta = 0$
где $\omega_{0} = const$

путем несложных махинаций (домножения первого и второго уравнений поочередно на косинус и синус и их сложения и, соответственно, вычитания), я свел систему к более простому виду:
$\theta' + \omega_{0}sin\phi = 0$
$\psi'sin\theta - \omega_{0}cos\phi = 0$
$\phi' + \psi'cos\theta = 0$

Далее подставляя во второе из третьего уравнения производную пси, а из первого константу, получаем первый интеграл:
$cos\phi sin\theta$ = K = const
а вот дальше мысль застряла...
вообще, эта система уравнений взялась из решения задачи о движении волчка Эйлера, если это имеет какое-то значение.

[AKM]

Из уравнений $\theta' + \omega_{0}\sin\phi = 0$ и $\cos\phi \sin\theta = K$ можно выразить синус-косинус фи, и исключить фи с помощью тождества $\sin^2\phi +\cos^2\phi=1$.
А перед \sin, \cos тоже следует ставить палочку.

[smile]

это было бы отлично, но я не могу однозначно определить знак синусов с косинусами, что проку с подстановки?

[AKM]

Я бы, конечно, её (подстановку) сначала сделал, попробовавши разные варианты знаков. Какой-то прежний опыт мне подсказывает, что какой знак не выберешь, всё едино будет (побороть лень, попробовать оба --- вроде их, знаков, не так уж много --- и убедиться?). Но ежели я детально займусь этой системкой, мне трудно будет следовать Вашим "махинациям". Очевидно, исключу сначала $\psi'$ --- что просто напрашивается при виде исходной системы, как первая вроде бы естественная акция.
Пребываю также в надежде, что кто-то более ДУ-мный встрянет и и всю правду расскажет...