задача Штурма-Лиувилля

[kertis]

1.пусть есть задача Штурма-Лиувилля

$\widehat{L}f(x)+q(x)f(x)=\lambda{f}(x)$

где $\widehat{L}$ дифф.оператор второго порядка,а $f(x)$ искомая функция.
решим эту задачу и отберем нужное нам СЗ $\lambda$
найдем соответствующую этому СЗ собственную функцию $f$
2.по этой функции построим $U(x)$ и $\tilde q(x)$,после чего подставим эти функции в исходное уравнение:
$\widehat{L}f(x)+\tildeq(x)f(x)+U(x)f(x)=\lambda{f}(x)$
3.повторяем п.1и п.2 до тех пор,пока значения $\lambda$ и отвечающее этому СЗ $f$ не будет меняться,т.е. описанная выше процедура "сойдется".
4.пусть теперь есть система уравнений,которую нужно подвергнуть процедуре описанной выше:
$\widehat{L_1}f(x)+U_1(x)g(x)+q_1(x)f(x)=\lambda f(x)$
$\widehat{L_2}g(x)+U_2(x)f(x)+q_2(x)g(x)=\mu g(x)$

зная "затравочные" значения
$\lambda_0 , $\mu_0$ собственных значений,можно решить систему
и соответсвенно можно найти функции
$f_0$ и $g_0$,построить по ним $\tilde{U}_1(x)$,$\tilde{U}_2(x)$ и $\tilde{q}_1(x)$,$\tilde{q}_2(x)$
и получу систему
$\widehat{L_1}f(x)+\tilde{U}_1(x)g(x)+\tilde{q}_1(x)f(x)=\lambda f(x)$
$\widehat{L_2}g(x)+\tilde{U}_2(x)f(x)+\tilde{q}_2(x)g(x)=\mu g(x)$
в которой требуется определить $\lambda$, $\mu$

5.собственно вопрос заключается в том,как находить \lambda , \mu?
если пытаться "расцепить" систему,то получается "почти" задача ШЛ,за тем лишь исключением,что уравнение становится
"неоднородным" (те появлятся член непропорциональный неизвестной функции).как решать такого рода задачу?
есть ли "векторные" аналоги задачи ШЛ? и если есть так это реализовывается в численных схемах?

[Аурелиано Буэндиа]

Что-то у Вас с обозначениями не лады. Что такое $(x)$? В первом уравнении вообще $U(x)$ нет...

[kertis]

эм попробую обьяснить. считайте,что в первом приближении $U(x)$ равно нулю.а во всех последующих оно вычисляется при помощи найденной функции $f$
$x$ - независимая переменная,по которой в частности берутся производные

прошу прощения,лажанул со скобкой в первом и втором уравнении

[Аурелиано Буэндиа]

kertis писал(а):

1.пусть есть задача Штурма-Лиувилля

$\widehat{L}f(x)+q(x)f(x)=\lambda{f}(x)$

где $\widehat{L}$ дифф.оператор второго порядка,а $f(x)$ искомая функция.
решим эту задачу и отберем нужное нам СЗ $\lambda$
найдем соответствующую этому СЗ собственную функцию $f$
2.по этой функции построим $U(x)$ и $\tilde q(x)$,после чего подставим эти функции в исходное уравнение:
$\widehat{L}f(x)+\tildeq(x)f(x)+U(x)f(x)=\lambda{f}(x)$
3.повторяем п.1и п.2 до тех пор,пока значения $\lambda$ и отвечающее этому СЗ $f$ не будет меняться,т.е. описанная выше процедура "сойдется".

... читающий Ваш пост должен постоянно догадываться о чем идет речь. Насколько я понял, Вы ищите решение уравнения

$$ L[f]+U(x)f-\lambda f=0 $$

методом итераций для известной функции $q(x)$

$$ L[f_{n}]+q(x)f_{n}(x,\lambda)-\lambda f_{n}(x,\lambda)=(q(x)-U(x))f_{n-1}(x,\lambda). $$

стартуя с $f_{0}(x,\lambda)=0$. Так?
И теперь хотите узнать, как все это обобщается на случай матричного $U(x)$ и

$$f(x)=\left( \begin{array}{c} \eta(x)\\ \xi(x) \end{array} \right)$$

?

[kertis]

да,функции $U(x)$ и $q(x)$ известны,известно как их строить на каждом шаге зная функции $f$ для выбранного СЗ. вопрос в том как находить СЗ для системы уравнений того вида,что я написал.

по поводу итераций - прочитайте мой первый пост,там кажется
все описано.щас к сожалению нет времени ответить,если что-то непонятно напишу позже.

[Аурелиано Буэндиа]

kertis писал(а):

по поводу итераций - прочитайте мой первый пост,там кажется
все описано.щас к сожалению нет времени ответить,если что-то непонятно напишу позже.

Лично мне непонятно как именно Вы осуществляете итерации. То как я понял Ваш итерационный алгоритм я написал. Если я не прав, то в чем? Но для ответа на Ваш вопрос это, кажется, несущественно.

Цитата:

да,функции $U(x)$ и $q(x)$ известны,известно как их строить на каждом шаге зная функции $f$ для выбранного СЗ. вопрос в том как находить СЗ для системы уравнений того вида,что я написал.

Собственные значения (спектр) зависят от граничных условий. Какой у Вас спектр (дискретный, непрерывный)? Метод решения часто зависит типа спектра. В случае дискретного спектра можно свести задачу к матричной задаче на собственные значения или использовать теорию возмущений, но тогда у вас должен быть малый параметр. В случае непрерывного спектра вся сложность заключается не в нахождении спектральных значений, а в нахождении собственных функций. В некоторых случаях задачу для непрерывного спектра можно свести к задаче для дискретного спектра -- дискретизация континуума.

[kertis]

так.
отвечу по порядку. я,хоть и физик,проблемы с сф и сз прекрасно понимаю. я наверно слишком сильно пустился "с места в карьер".
1.спектр дискретный,малых параметров нет.
2.про самосогласование я наверно зря написал,хотя это,возможно,неким образом влияет на метод решения.
если вам интересно про то какие бывают самосогласованные задачи,как их ставят и решают,могу обьяснить отдельно.
3.если есть система уравнений(алгебраических) то задача на сз решается обычными методами линейной алгебры.если есть дифф.уравнение - то это задача ШЛ.трудности возникает,когда есть система дифф.уравнений.обычно такую систему пытаются свести к алгебраической(ибо как решать такую задачу - понятно). меня интересуют есть ли какие-то другие методы именно для решения систем диффуров,не сводя эту систему к алгебраической.мождет для каких то частных случаев,или хитрых "расцеплений" или еще как...
обычный ммф,здесь увы пасует.

[Аурелиано Буэндиа]

kertis писал(а):

.про самосогласование я наверно зря написал,хотя это,возможно,неким образом влияет на метод решения.
если вам интересно про то какие бывают самосогласованные задачи,как их ставят и решают,могу обьяснить отдельно.

Интересно.

kertis писал(а):

если есть система уравнений(алгебраических) то задача на сз решается обычными методами линейной алгебры.если есть дифф.уравнение - то это задача ШЛ.трудности возникает,когда есть система дифф.уравнений.обычно такую систему пытаются свести к алгебраической(ибо как решать такую задачу - понятно). меня интересуют есть ли какие-то другие методы именно для решения систем диффуров,не сводя эту систему к алгебраической.мождет для каких то частных случаев,или хитрых "расцеплений" или еще как...
обычный ммф,здесь увы пасует.

Первое что приходит в голову, это если малого параметра нет, то его можно найти. Если Вы занимаетесь прикладными задачами и примерно представляете, какой вид имеют $U(x)$ и граничные условия, то можно попытаться подобрать интегрируемую модель, а уже потом рассматривать реальную задачу как небольшое отклонение от Вашей решаемой модели. Дальше можно решать методами теории возмущений.

[kertis]

1.теория возмущения в моей задаче увы бесполезна(точнее,если говорить про физику,то результат и так будет ).
малых параметров тоже нет. функции все гладкие,без особенностей.
2.видите ли,моя система имеет довольно специальный вид,поэтому собственно я и надеюсь,что есть ""кустарные" методы.

3.про самосогласованные задачи напишу позднее,сейчас увы времени нет.