Комплексные числа - можно ли упорядочить?

[Sasha2]

Хотелось бы знать, почему поле комплексных чисел не является упорядоченным.
Это сделать принципиально нельзя, или же нельзя сделать так, чтобы упорядочение вело себя также согласовано по отношению к умножению и сложению, как и вещественные числа.
Либо же это можно сделать, но пользоваться этим будет крйне неудобно?

[meduza]

Принципиально можно (например сравнивать веществ. части, а если они равны -- то мнимые), но толку от такого упорядочивания нет абсолютно никакого.

[Padawan]

Согласованно с умножение и сложением нельзя.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #292769 писал(а):

Это сделать принципиально нельзя, или же нельзя сделать так, чтобы упорядочение вело себя также согласовано по отношению к умножению и сложению, как и вещественные числа.

Правильное низзя -- второе.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #292793 писал(а):

Согласованно с умножение и сложением нельзя.

Ага, получается $-1 = i^2 > 0$

-- Сб фев 27, 2010 02:07:01 --

Вообще, надо, по хорошему, сначала выписать аксиомы, которые мы хотим иметь, а потом уже смотреть, можно ли ввести порядок, удовлетворяющий этим аксиомам, или нет.

К примеру, две аксиомы $x^2 \geqslant 0$ и $x \geqslant 0 \Leftrightarrow -x \leqslant 0$, как показано выше, вместе удовлетворить невозможно. А какие-то другие аксиомы, может быть, и получится.

-- Сб фев 27, 2010 02:18:04 --

В книге С. Ленга сказано следующее:

Цитата:

Упорядочением поле $K$ называется $P \subset K$, такое что

1) Для любого $x \in K$ выполнена в точности одна возможность: $x \in P$, $-x \in P$, $x = 0$.

2) Если $x,y \in P$, то $x + y \in P$ и $xy \in P$.

...

По определению $x < y$, если $y-x \in P$. $x \leqslant y$ означает, что $x < y$ или $x = y$.

Отсюда легко можно вывести, что

1) $<$ есть линейный порядок на $K$, так как $y-x \in P$ или $x-y \in P$ или $x=y$.

2) Для любого $x \in K$ выполнено $x^2 \geqslant 0$, так как $x^2 = (-x)^2$.

3) $x \geqslant 0 \Leftrightarrow -x \leqslant 0$, очевидно из первой аксиомы для $P$.

Таким образом, упорядочить $\mathbb{C}$ в стандартном понимании термина "упорядочить поле" невозможно.

[Sasha2]

Ну не совсем так, как уважаемый профессор Снейп
А вот хотя бы так:
Если $z_1$ и $z_2$ находятся в отношении R, то есть $z_1Rz_2$, то тогда
1) При любом $z_3$ также $(z_1+z_3)R(z_2+z_3)$
2) При любом $z_3$ таком, что $z_3R0 $также $(z_1 z_3)R(z_2 z_3)$

И что неужели вообще невозможно такое отношение построить в поле комплексных чисел?

[ИСН]

Возьмите три-четыре небольших комплексных числа, засуньте их в стиральную машину вместе с этими аксиомами и покрутите полчаса. Наверняка выйдет какое-нибудь противоречие.

[Xaositect]

Ну, пустое отношение удовлетворяет этим требованиям.

[Sasha2]

Не хотелось бы содержательного.
А вообще есть ли какие-либо теоремы насчет того, что мол в этом множестве можно построить такое отношение, а вот в таком-то нельзя. Желательно, конечно, чтобы еще был ответ на вопрос почему нельзя.

Грубо говоря, не выйдет ли так, что если в поле можно построить такое отношение, то оно обязательно совпадет с каким-нибудь полем, кольцом (ну или еще чем-то) от этого же, но действительных чисел с точностью до изоморфизма.

[Xaositect]

Ну в общем то определение, которое привел Профессор Снэйп, эквивалентно тому, что отношение является линейным порядком + ваши две аксиомы.

-- Сб фев 27, 2010 00:15:39 --

По теории упорядоченных полей есть что-то в Ленге.

-- Сб фев 27, 2010 00:16:29 --

А, у Снейпа определение оттуда и взято. Не заметил

[Профессор Снэйп]

Sasha2 в сообщении #292840 писал(а):

Ну не совсем так, как уважаемый профессор Снейп
А вот хотя бы так:
Если $z_1$ и $z_2$ находятся в отношении R, то есть $z_1Rz_2$, то тогда
1) При любом $z_3$ также $(z_1+z_3)R(z_2+z_3)$
2) При любом $z_3$ таком, что $z_3R0 $также $(z_1 z_3)R(z_2 z_3)$

И что неужели вообще невозможно такое отношение построить в поле комплексных чисел?

Вообще, раз употребляется термин "порядок", то хотелось бы, чтоб аксиомы порядка были выполнены. Хотя бы частичного.

Хотя вот пустое отношение --- строгий частичный порядок...

Давайте определимся со следующим: порядок должен быть линейным или допускаются несравнимые элементы?

Если допускаются, то пример с пустым отношением годится. Или, допустим, действительные числа сравнимы стандартно, а остальные только сами с собой, тоже пример.

Если же требуется линейность...

1) Для любого $x \neq 0$ либо $-x/2 < x/2$ и $0 = -x/2 + x/2 < x/2 + x/2 = x$, либо $x/2 < -x/2$ и $-x > 0$ по той же самой причине.

2) Для любого $x \neq 0$ либо $-x/2 < x/2$ и $-x = -x/2 - x/2 < x/2 - x/2 = 0$, либо $x/2 < -x/2$ и $x < 0$, согласно аналогичному аргументу.

3) Таким образом, для $x \neq 0$ ровно одно из двух чисел $x, -x$ больше нуля.

4) Для любого $x \neq 0$ имеем $x^2 = (-x)^2 > 0$.

5) Значит, имеем противоречие с $1 = 1^2 > 0$, $-1 < 0$ и $-1 = i^2 > 0$.

-- Сб фев 27, 2010 04:01:35 --

Xaositect в сообщении #292854 писал(а):

Ну в общем то определение, которое привел Профессор Снэйп, эквивалентно тому, что отношение является линейным порядком + ваши две аксиомы.

Ага, есть такое.

-- Сб фев 27, 2010 04:05:25 --

Sasha2 в сообщении #292851 писал(а):

Грубо говоря, не выйдет ли так, что если в поле можно построить такое отношение, то оно обязательно совпадет с каким-нибудь полем, кольцом (ну или еще чем-то) от этого же, но действительных чисел с точностью до изоморфизма.

Чиво?

[jetyb]

Профессор Снэйп в сообщении #292821 писал(а):

Упорядочением поле $K$ называется $P \subset K$, такое что

1) Для любого $x \in K$ выполнена в точности одна возможность: $x \in P$, $-x \in P$, $x = 0$.

2) Если $x,y \in P$, то $x + y \in P$ и $xy \in P$.

Допустим, найдется такое $P$. Тогда только одно из чисел $e^{\frac{2i\pi}{3}},e^{-\frac{2i\pi}{3}}$ принадлежит $P$, но тогда и его квадрат должен принадлежать $P$.

[Профессор Снэйп]

jetyb в сообщении #292871 писал(а):

Допустим, найдется такое $P$. Тогда только одно из чисел $e^{\frac{2i\pi}{3}},e^{-\frac{2i\pi}{3}}$ принадлежит $P$

Вот это непонятно почему.

[Padawan]

Sasha2 в сообщении #292851 писал(а):

Грубо говоря, не выйдет ли так, что если в поле можно построить такое отношение, то оно обязательно совпадет с каким-нибудь полем, кольцом (ну или еще чем-то) от этого же, но действительных чисел с точностью до изоморфизма.

Посмотрите Приложение "ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ " в первом томе Ильина, Позняка Основы математического анализа.

Там доказывается, что если выполнены аксиомы поля + аксиомы линейного порядка (который Вы требовали $\equiv$ аксиомы, которые привел Проф. Снэйп)+аксиома Архимеда+полнота относительно операций , то это будет поле вещественных чисел с точностью до изоморфизма.

[jetyb]

Блин, ночью что-то с вниманием происходит

Можно так:
Одно из чисел $i,-i$ принадлежит $P$, но тогда оба числа -1 и 1 тоже принадлежат $P$. Противоречие.