Пожалуста, помогите доказать:

[talian2012]

!)Доказать линейную зависимость систем функций:
A)$1, sinx, cosx, sin^2x, cos^2x,...,sin^nx, cos^nx, при n>=2$
B)$sinx, cosx, sin^2x, cos^2x,...,sin^nx, cos^nx, при n>=4.$

2)И доказазать линейную независимость систем функций:
A)$1, sinx,sin^2x,...,sin^nx;$
B)$sinx, sin2x, sin3x,..., sinnx$
C)$e^{\alpha_1},e^{\alpha_2},..., e^{\alpha_n},$где $\alpha_1,..., \alpha_n$ - попарно различные действительные числа;
D)$e^{\lambda_1x}, e^{\lambda_2x},..., e^{\lambda_nx}$, где $\lambda_1,..., \lambda_n$ - попарно различные действительные числа.

[Xaositect]

Слишком просто.

А. Напишите основное тригонометрическое тождество. Вспомните определение линейной зависимости.
Б. Домножьте основное тригонометрическое тождество на $\sin^2 x$.

[talian2012]

спасибо, а 2 можете посмотреть, пожалута?

[jetyb]

A)может ли многочлен иметь бесконечное число корней?
B)используйте метод индукции, два раза продифференцируйте тождественно нулевую линейную комбинацию
C)не понял
D)аналогично B), только попроще

[Xaositect]

Указания ко второму:
А. Если многочлен обращается в 0 на [-1,1], то он равен нулю.
B. Сводится к предыдущей, только с косинусами. Формула понижения степени
С. Непонятное условие. Если имеются в виду $x^{\alpha_i}$, то вынесите из лин.комбинации степень с наименьшим показателем и посмотрите на поведение оставшегося на бесконечности.
D. Аналогично. Выносите экспоненту с наим. показателем и устремляете к бесконечности.

[talian2012]

можно пожалуста с самого начала:
ну вот
$sin^2x+cos^2x=1$
а определение линейной независимости в нашем примере выглядит так:
$\alpha_1+\alpha_2sinx+...+\alpha_{2n+1}cos^nx=0, <=> $\alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_n=0 $
мне это не помогло
простите за мою тупость, но немогли бы сказать что дальше делать?

[Xaositect]

Так надо же доказать линейную зависимость.
Как будет выглядеть отрицание того, что функции линейно независимы?

[ИСН]

Постарайтесь как-то увязать определение с обыденным здравым смыслом. Что оно значит? Как его применять? Вот я пришёл в магазин; что мне за него дадут?
Без этого всё дальнейшее бесполезно.

-- Ср, 2010-02-24, 00:41 --

Ну и, да, Xaositect тоже дело говорит.

[talian2012]

так само, только, если хотя бы один $\alpha_i$ отличен от 0...

[gris]

Это независимость надо доказывать, а для зависимости порой бывает вполне достаточно привести всего лишь один небольшой невзрачный хотя бы даже и непутёвый контрпример.

[talian2012]

спасибо с этим окончено, разобрался

-- Вт фев 23, 2010 23:01:11 --

2.A)

Цитата:

Если многочлен обращается в 0 на [-1,1], то он равен нулю

почему?

[ewert]

talian2012 в сообщении #291276 писал(а):

!)Доказать линейную зависимость систем функций:
A)$1, sinx, cosx, sin^2x, cos^2x,...,sin^nx, cos^nx, при n>=2$

Это вот что означает, в частности:

что $\A\,\sin(x+\varphi)\equiv B\,cos(2x)+C$.

При ненулевых константах, между кстати. Ну, фигня откровеннейшая.

[Xaositect]

talian2012 в сообщении #291659 писал(а):

почему?

Ну вот так.
Ненулевой многочлен не может иметь больше корней, чем его степень.

-- Ср фев 24, 2010 00:12:44 --

ewert в сообщении #291663 писал(а):

talian2012 в сообщении #291276 писал(а):

!)Доказать линейную зависимость систем функций:
A)$1, sinx, cosx, sin^2x, cos^2x,...,sin^nx, cos^nx, при n>=2$

Это вот что означает, в частности:

что $\A\,\sin(x+\varphi)\equiv B\,cos(2x)+C$.

При ненулевых константах, между кстати. Ну, фигня откровеннейшая.

Это Вы к чему?

[talian2012]

.

[Xaositect]

talian2012 в сообщении #291681 писал(а):

я о том, что почему 0, а не -1, или 1?

Ну это в вашем 2А можн использовать.
Любая линейная комбинация - это многочлен от $\sin x$, если он равен нулю, то...