Интегралы. Разложение на простейшие дроби.

[BapuK]

Mikle1990 в сообщении #291423 писал(а):

...
И что? Я опять был шокирован , т.к. в прошлый раз мне помогла интуиция, а в этот $A,B,C,D$ надо как-то искать.
...
2) Как мне найти $A,B,C,D$?
...

еще в школе учат решать системы уравнений, ну если не помните почитайте любой учебник по алгебре тему про решение систем линейных уравнений
в вашем случае. например можно поступить так: 1ое и 2ое уравнения умножить на -9
затем 1ое уравнение сложить с 3им, 2ое с 4ым
отсюда сразу находятся $C$ и $D$, затем подставив найденные $C$ и $D$ в 1ое и 2ое уравнение решить систему уже из двух уравнений с двумя неизвестными
ЗЫ разложили на дроби правильно, систему нашли правильно

[AKM]

Mikle1990 в сообщении #291423 писал(а):

После некоторых действий у меня получилось вот это:
$1 = A+B+C$
$0 = 3A - 3B + D$
$1 = 9A + 9B - 9C$
$1 = 27A - 27B - 9D$

Правильно.

Цитата:

вот к чему я пришёл :
$2 = 10A + 10B - 8C$
$1 = 30A - 30B - 8D$

Может это тоже правильно, но я не знаю, зачем это нужно. Решайте, например, по-тупому ту систему из 4-х уравнений. Из второго уравнения находим $D=3B-3A$ и исключаем его из остальных.

$$\begin{cases}A+B+C=1\\9A + 9B - 9C=1\\27A - 27B - 9(\underbrace{3B-3A}_D)=\ldots=1\end{cases}$$

-- Вт фев 23, 2010 11:17:07 --

Или так, как предыдущий оратор предложил (я не заметил сразу его ответа на новой страничке)

[gris]

А я всё о своём....
$ \dfrac{x^3+x+1}{(x-3)(x+3)(x^2+9)}=\dfrac {A}{x-3} + \dfrac {B}{x+3} + \dfrac {Cx+D}{x^2+9}$

$x^3+x+1=A(x^2+9)(x+3) + B(x^2+9)(x-3) +(Cx+D)(x-3)(x+3)$

Вы же всё равно получаете это выражение. А теперь перед раскрытием скобок подставим

$x=3; \quad 3^3+3+1=A(3^2+9)(3+3) + B(3^2+9)(3-3) +(C3+D)(3-3)(3+3)$

$31=108A$

$x=-3; \quad -3^3-3+1=A(3^2+9)(-3+3) + B(3^2+9)(-3-3) +(C3+D)(-3-3)(-3+3)$

$-29=-108B$

Уже попроще. Хотя система тоже не сложная.

[ewert]

Mikle1990 в сообщении #291414 писал(а):

Это что вообще за приём? Мы имеем право так подставить? Почему?

Потому что многочлен степени $(n-1)$ однозначно определяется своими значениями в $n$ различных точках (любых). Формально это даёт систему из $n$ уравнений. Однако если у знаменателя есть вещественные корни, то подстановка каждого из них сраву даёт один из коэффициентов, и размер системы уменьшается.

Вообще же систему следует решать методом Гаусса -- ни о чём задумываться не придётся.

[Mikle1990]

gris, довольно хороший способ у Вас. Скоро к нему вернусь.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Решил! Правда по-тупому нашёл $A,B,C,D$, но выше поднимать планку знаний пока нельзя.
Вот новый решаю...
Проверьте вот этот пожалуйста. А то боюсь что-нибудь упустить.

$$\int \frac {dx}{(x^2-2x)^2} = \int \frac {dx}{x^4-4x^3+4x^2} = \int \frac {dx}{x^2(x^2-4x+4)} = \int \frac {A\,dx}{x^2} + \int \frac{B\,dx}{x-2} + \int \frac{C\,dx}{x-2} $$

1) Я правильно написал?
2) У $x^2$ есть действительный корень - $0$ ?

[gris]

1) ещё

$$ ...+\int \frac {D\,dx}{x} $$

так как
2) У $x^2$ есть двойной действительный корень - $0$

да и

$$+ \int \frac{C\,dx}{(x-2)^2}$$

[Mikle1990]

$$\int \frac {dx}{(x^2-2x)^2} = \int \frac {dx}{x^4-4x^3+4x^2} = \int \frac {dx}{x^2(x^2-4x+4)} = \int \frac {A\,dx}{x^2} +\int \frac {B\,dx}{x} + \int \frac{C\,dx}{(x-2)^2} + \int \frac{D\,dx}{x-2} $$

Получилось:
$A = \frac {1}{4}$

$B = 0$

$C = \frac {1}{4}$

$D = - \frac{1}{2}$

Далее.

$$\int \frac {dx}{(x^2-2x)^2} = \frac {1}{4}\int \frac {dx}{x^2} + \frac {1}{4}\int \frac{dx}{(x-2)^2} - \frac{1}{2}\int \frac{dx}{x-2} $$

Нахожу интегралы, а с ответом не совпадает

У меня ответ такой:
$\frac {1}{4}(\frac {1}{2-x} - \frac {1}{x} - 2 \ln |x-2|) + C$

В учебнике такой:
$\frac {1}{4} \ln |\frac {x}{x-2}|-\frac{x-1}{2x(x-2)}+ C$

Забил в прогу в инете. Ответ получился не тот и не другой, но более похожий на мой.

[ИСН]

Афтар кагбе намекает, что у Вас не совсем верно найдены какие-то из чисел A, B, C, D.
(Прога в инете может помочь и на этом этапе, если чо.)

[Mikle1990]

Проверил. Те же $A, B, C, D$ получил.

[gris]

Упрямство детектед
$B=\dfrac14;\,\,D=-\dfrac14$

[ИСН]

Капитан Очевидность детектед? gris, ну можно же было как-то деликатно намекнуть...

[gris]

Ой, и то правда.
Короче, намекаю, бэ типа в два раза меньше, чем поллитра. А дэ ну совсем противоположное явление.

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Вы чё-то там мудрите-фокусничаете, и теперь и нормальных читатей запутали. Типа "я в шоке", как иногда пишет наш плодовитый разлагатель на простые дроби.
Ведь если бэ равно четверть-литра (а именнно на это gris упорно намекает), а дэ --- "ну совсем противоположное", то это явно минус-четверть-литра. Теперь, допустим gris выклянчил, и Mikle1990 послал grisу эту четверть. Но тогда, когда дело дойдёт до дэ=минус-четверть-литра, вроде как gris должен ровно то же самое вернуть автору.

Так почему бы не взять обе величины, бэ и дэ, нулями, и не мучаться с пересылками?

[Mikle1990]

Я немножко ошибся в расчётах просто) Теперь всё нормально)
А то, что некоторые пишут))... я вообще не очень знаком с данным жаргоном)

(Оффтоп)

Что такое литр?

[Mikle1990]

Подскажите кто-нибудь пожалуйста, как решать вот это:
$\int \frac{x^2}{x^4+4}\,dx$

и, если можно, намекните как решать этот:
$\int\frac{x^2\,dx}{x^2-4x+3}$