Элементарная конструкция, где может встретиться?

[e2e4]

Понимаю, вопрос абстрактный, но может быть кто-то натолкнет на мысль.
Скажите, имеет ли конструкция вида $x^2 -2x*\cos{\beta}+1$ где-то применение, или является решением какой-нибудь классической задачи и т.п.? Можно ли ее каким-нибудь способом преобразовать так, чтобы отделить $x$ от $f(\beta)$? Ясно, что т.к. функция $\cos$ принимает значения от 0 до 1, то это, в зависимости от значения аргумента косинуса, либо сумма квадратов, либо квадрат разности, либо что-то промежуточное (если так уместно вообще говорить).

В общем, буду рад любым комментариям, данное выражение возникло при решении задачи из области цифровой обработки сигналов.

Спасибо!

[ИСН]

Эта штука может встретиться много где. Иногда очень хочется, чтобы из неё красиво извлекался корень. А фиг. Иногда очень хочется, чтобы от корня из неё (или чего-то подобного) красиво брался интеграл. А...

[e2e4]

ИСН писал(а):

Иногда очень хочется, чтобы из неё красиво извлекался корень. А фиг.

Как раз именно корень из нее и хочется извлечь .

[Padawan]

например знаменатель в ядре Пуассона для решения задачи Дирихле. А еще, если не ошибаюсь , логарифм от этой штуки дает ядро Дини для решения задачи Неймана. Интегрирование по $\beta$, $x$ -- радиус.

[gris]

Теорема косинусов для треугольника со сторонами $1$ и $x$ и углом $\beta$ между ними. Выражение даёт квадрат третьей стороны.

[Полосин]

$1/\sqrt{1-2xt+x^2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}P_n(t)x^n$ - производящая функция полиномов Лежандра.

[e2e4]

Спасибо, пища для размышлений есть!

[Алексей К.]

Я раньше злился на неё, но уже давно перестал. $x^2+2x\cos\beta+1=\cos^2 \frac\beta2(x+1)^2+\sin^2 \frac\beta2(x-1)^2$.
И, e.g.,

$$\frac{x^2-1}{x^2+2x\cos\beta+1}=\frac{\sh \rho}{\ch \rho+\cos\beta},\quad \frac{2x\sin\beta}{x^2+2x\cos\beta+1}=\frac{\sin \beta}{\ch \rho+\cos\beta}\quad (\rho=\ln x)$$

(некая биполярная система координат $\rho,\beta$)

[e2e4]

Алексей К., а если так:

$\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-2x\cos{\beta}+1} = \dfrac{(x-1)^2}{x^2-2x\cos{\beta}+1} = \dfrac{(x-1)^2}{(x-\cos{\beta} - i\sin{\beta})(x-\cos{\beta} + i\sin{\beta})} = \dfrac{(x-1)^2}{(x-e^{i\beta})(x-e^{-i\beta})} = $

Дальше идей нет...

[Алексей К.]

Уточню, что приведённые мной "биполярные" штуки мне нигде не встречались (кроме своих глубоко личных задачек). В этих терминах

$$\dfrac{x^2-2x+1}{x^2-2x\cos{\beta}+1} = \dfrac{x-2+1/x}{x-2\cos{\beta}+1/x} =\dfrac{\overbrace{x+1/x}^{2\ch p}-2}{\underbrace{x+1/x}_{2\ch p}-2\cos{\beta}}=\dfrac{\ch p-1}{\ch p -\cos\beta}$$

Цитата:

Дальше идей нет...

Ну, конкретные идеи, если вдруг появятся, --- то под конкретную задачу, нам не известную...

[e2e4]

Алексей К., теперь разобрался с Вашими преобразованиями. По сути, Вы заменяете некоторую конструкцию из иксов на некоторую комбинацию элементарных функций (ch, ln). Пока не вижу в этом преимущества.

Цитата:

то под конкретную задачу, нам не известную...

Да ничего особого дополнительного сказать про это выражение не могу. Это коэффициент ослабления амплитуды синусоидального сигнала, пропущенного через некоторый цифровой фильтр. $\beta \in [0;2\pi]$ - функция от частоты сигнала и частоты дискретизации, $x \in [0;1]$ - функция от параметров фильтра. Только еще корень от этого выражения взять надо. Хотелось бы преобразовать его к более удобной для понимания и анализа форме, в виде $f(x)+z(\beta)$. Но, видимо, не судьба.

[AD]

e2e4 в сообщении #291482 писал(а):

Хотелось бы преобразовать его к более удобной для понимания и анализа форме, в виде $f(x)+z(\beta)$. Но, видимо, не судьба.

Понять, можно ли привести выражение к такому виду, очень легко: если $f(x,y)=g(x)+h(y)$, то

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=h'(y)$$

$$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=g'(x)$$

- типа зависят только от одной буквы.