Скалярное поле. Градиент

[Nogin Anton]

Посмотрите пожалуйста моё решение.
Дано скалярное поле $u=ln(3x+2y+z)$
$M_0(1;1;1)$ и $M_1(2;3;4)$
Найти:
1) $gradu$ в точке $M_0$
2) Производную функции $u=f(x,y,z)$ в точке $M_0$ по направлению от точки $M_0$ к точке $M_1$
3) Производную функции $u=f(x,y,z)$ в точке $M_0$ в направлении её градиента
4) Угол между градиентами данной функции в точках $M_0$ и $M_1$
Решение:
1) $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{3}{3x+2y+z}|_{M_0}=\frac36=\frac12$
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{2}{3x+2y+z}|_{M_0}=\frac13$
$\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{1}{3x+2y+z}|_{M_0}=\frac16$
$gradu(\frac12;\frac13;\frac16)$
2) $\vec{M_0M_1}(1;2;3)$
$|\vec{M_0M_1}|=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$
$cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{14}}$
$cos\beta =\frac{2}{\sqrt{14}}$
$cos\gamma =\frac{3}{\sqrt{14}}$
$\frac{\partial u}{\partial x}|_{M_0}=\frac12$
$\frac{\partial u}{\partial y}|_{M_0}=\frac13$
$\frac{\partial u}{\partial z}|_{M_0}=\frac16$
$\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}=\frac12\cdot \frac{1}{\sqrt{14}}+\frac13\cdot \frac{2}{\sqrt{14}}+\frac16\cdot \frac{3}{\sqrt{14}}=\frac{5}{3\sqrt{14}}$
3)$|gradu|=\sqrt{\frac14+\frac19+\frac{1}{36}}=\sqrt{\frac{9+4+1}{36}}=\frac{\sqrt{14}}{6}$
$cos\alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{6}{\sqrt{14}}}=\frac{3}{\sqrt{14}}}$
$cos\beta =\frac{1}{3}\cdot \frac{6}{\sqrt{14}}}=\frac{2}{\sqrt{14}}}$
$cos\gamma =\frac{1}{6}\cdot \frac{6}{\sqrt{14}}}=\frac{1}{\sqrt{14}}}$
$\frac{\partial u}{\partial \vec{l}}=\frac{3}{2\sqrt{14}}+\frac{2}{3\sqrt{14}}+\frac{1}{6\sqrt{14}}=\frac{9+4+1}{6\sqrt{14}}=\frac{7}{3\sqrt{14}}$
4)$u=ln(3x+2y+z)$
$M_0(1;1;1)$ и $M_1(2;3;4)$
$u'_x=\frac{3}{3x+2y+z}|_{(1;1;1)}=\frac12|_{(2;3;4)}=\frac{3}{16}$
$u'_y=\frac{2}{3x+2y+z}|_{(1;1;1)}=\frac13|_{(2;3;4)}=\frac{1}{8}$
$u'_z=\frac{1}{3x+2y+z}|_{(1;1;1)}=\frac16|_{(2;3;4)}=\frac{1}{16}$
$gradu|_{M_0}=(\frac12;\frac13;\frac16)$
$gradu|_{M_1}=(\frac{3}{16};\frac18;\frac{1}{16})$
$|gradu_{M_0}|=\sqrt{\frac14+\frac19+\frac{1}{36}}=\frac{\sqrt{14}}{6}}$
$|gradu_{M_1}|=\sqrt{\frac{9}{16^2}+\frac{4}{16^2}+\frac{1}{16^2}}=\frac{\sqrt{14}}{6}}$
$cos\phi =\frac{gradu_{M_0}\cdot gradu_{M_1}}{|gradu_{M_0}|\cdot |gradu_{M_1}|}=\frac{\frac{3}{32}+\frac{1}{24}\frac{1}{96}}{\frac{14}{96}}=1$
$\phi=2\pi$
Заранее пребольшое спасибо!

[gris]

3) частная производная по направлений градиента Почитайте внимательнее эту фразу.

4) ответ 0, конечно, то есть градиенты сонаправлены. И это было бы сразу видно, если бы Вы не сокращали дроби.
$grad\,u|_{M_0}=(\dfrac36;\,\dfrac26;\,\dfrac16)$
$grad\,u|_{M_1}=(\dfrac{3}{16};\dfrac2{16};\dfrac{1}{16})$

Ещё небольшой совет по оформлению. Разбивайте текст пустыми строками.

Используйте \dfrac вместо \frac. Пишите $grad\,u$ (хотя бы).

Это ерунда, конечно Просто сплошной текст трудно читать

[meduza]

Nogin Anton
Всё верно (правда есть несколько опечаток в наборе). Есть только замечание к 3-й задаче: вы должны знать, что прозводная функции по направлению максимальная в направлении градиента и, очевидно, равна модулю градитента. Т. е. $\dfrac {\partial u}{\partial(\operatorname{grad} u)}=|\operatorname{grad} u|=\dfrac{\sqrt {14}}6\ \left(=\dfrac{7}{3\sqrt{14}}\right)$.

И в 4-й тоже можно было не считать, координаты обоих градиентов пропорциоанльны, значит они сонаправлены и угол 0.

P. S. Наведи мышь на формулки, которые я написал и посмотри как пишется градиент:

\operatorname{grad}

Либо просто $\nabla u$.

[Nogin Anton]

Буду стараться писать аккуратнее!
Всем спасибо большое!