Уравнение касательной плоскости и нормаль к поверхности.

[integral2009]

1) Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $x^2+y^2-(z-5)^2=0$ в точке
$A(4,3,0)$
Насколько я понимаю - это конус, вершина которого лежит в точке $(0,0,5)$ и он уширяется вверх вдоль оси $z$. Точка $A(4,3,0)$ не принадлежит боковой поверхности конуса (более того, она лежит ниже вершины конуса),конус неограничен сверху поверхностью.... По-моему можно провести только плоскость, параллельно касательной)

2) Найти градиент функции $u=xyz$ в точке $M(1,1,1)$. Найти производную этой функции в точке $M$ по направлению, составляющему с осями координат соответственные углы $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{3}$

$\nabla u = (yz, xz, yz)$

$\nabla u (1,1,1) = (1, 1, 1)$

$\dfrac{dU}{dl} = (\nabla u, dl_0)$

А что дальше делать - не знаю...

[ИСН]

В первом рекомендую попробовать для начала подставить координаты точки в уравнение поверхности. "Как много нам открытий чудных", you know.
Во втором для начала - привести определение производной по направлению. Что это такое?

[ewert]

integral2009 в сообщении #291328 писал(а):

1) Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $x^2+y^2-(z-5)^2=0$ в точке
$A(4,3,0)$
Насколько я понимаю - это конус, вершина которого лежит в

Вы -- совершенно неправильно понимаете. Т.е. конус-то это, конечно, конус, да только Вам лично до этого не должно быть совершенно никакого дела. Ваше дело (в данном конкретном случае) маленькое -- прокукарекать. Подставить сиё уравнение в стандартные формулы, далее же -- хоть трава не расти.

Формулы же -- тривиальны. Найдите градиент функции, задающей поверхность (в данной конкретной точке). Он (градиент) автоматом задаст как нормаль, так и касательную; всего то и нужно, что помнить базовые факты аналитической геометрии.

[integral2009]

ИСН в сообщении #291330 писал(а):

В первом рекомендую попробовать для начала подставить координаты точки в уравнение поверхности. "Как много нам открытий чудных", you know.
Во втором для начала - привести определение производной по направлению. Что это такое?

Спасибо!!!!! Точка лежит на поверхности!!! Конус может "уширяться и к низу". В принципе, нам даны 2 точки, чтобы провести поверхность, нужна еще одна точка, не лежащая на образующей конуса, как же ее найти?)

Я написал определение производной по направлению выше или там что-то не так?)

-- Пн фев 22, 2010 22:31:03 --

ewert в сообщении #291346 писал(а):

Вы -- совершенно неправильно понимаете. Т.е. конус-то это, конечно, конус, да только Вам лично до этого не должно быть совершенно никакого дела. Ваше дело (в данном конкретном случае) маленькое -- прокукарекать. Подставить сиё уравнение в стандартные формулы, далее же -- хоть трава не расти.

Формулы же -- тривиальны. Найдите градиент функции, задающей поверхность (в данной конкретной точке). Он (градиент) автоматом задаст как нормаль, так и касательную; всего то и нужно, что помнить базовые факты аналитической геометрии.

Спасибо)))
$u=x^2+y^2-(z-5)^2$

$\nabla u = ( 2x, 2y , 2(z-5) )$

$\nabla u (4,3,0) = (8,6,-10)$

Так нормаль и касательная должны быть взаимно перпендикулярны...

[ewert]

integral2009 в сообщении #291347 писал(а):

В принципе, нам даны 2 точки, чтобы провести поверхность, нужна еще одна точка, не лежащая на образующей конуса, как же ее найти?)

никак, Вы патологически не в ту сторону думаете

-- Пн фев 22, 2010 22:34:27 --

integral2009 в сообщении #291347 писал(а):

$u=x^2+y^2-(z-5)^2$

$\nabla u = ( 2x, 2y , 2(z-5) )$

$\nabla u (4,3,0) = (8,6,-10)$

Так нормаль и касательная должны быть взаимно перпендикулярны...

пока вроде в принципе верно, с точностью до одного знака, аднака

[integral2009]

ewert в сообщении #291350 писал(а):

integral2009 в сообщении #291347 писал(а):

В принципе, нам даны 2 точки, чтобы провести поверхность, нужна еще одна точка, не лежащая на образующей конуса, как же ее найти?)

никак, Вы патологически не в ту сторону думаете

-- Пн фев 22, 2010 22:34:27 --

integral2009 в сообщении #291347 писал(а):

$u=x^2+y^2-(z-5)^2$

$\nabla u = ( 2x, 2y , 2(z-5) )$

$\nabla u (4,3,0) = (8,6,-10)$

Так нормаль и касательная должны быть взаимно перпендикулярны...

пока вроде в принципе верно, с точностью до одного знака, аднака

Да, точно , спасибо +10 там, а не минус)
Насколько я понял, координаты нормали

$\vec N = (8,6,10)$

Плоскость

$8x+6y+10z+D=0$

$8\cdot 4 + 6\cdot 3 + 0 + D=0$
=>

$D=-50$

Уравнение плоскости

$8x+6y+10z-50=0$

[integral2009]

9) Найти градиент функции $u=xyz$ в точке $M(1,1,1)$. Найти производную этой функции в точке $M$ по направлению, составляющему с осями координат соответственные углы $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$, $\dfrac{\pi}{3}$

$\vec \nabla u = (yz, xz, yz)$

$\vec \nabla u (1,1,1) = (1, 1, 1)$

$\dfrac{dU}{dl}(1,1,1) = (\vec \nabla u (1,1,1),\vec \tau)$

$\vec \tau = (\cos \dfrac{\pi}{4},cos\ \dfrac{\pi}{3},\cos \dfrac{\pi}{3})=(\dfrac{\sqrt 2}{2}, 1/2,1/2)$

$\dfrac{dU}{dl}(1,1,1) = \dfrac{\sqrt 2}{2}\cdot 1+0.5\cdot 1+ 0.5\cdot 1=\dfrac{\sqrt 2}{2}+1=\dfrac{\sqrt 2+2}{2}$

[AKM]

По-моему, всё правильно.
Вот только у меня возник вопрос: а существует ли направление, заданное в задаче?
Иными словами, ведь далеко не всякие три уголка с осями задают направление (возьмите их очень маленькими, или просто нулями, и увидите --- не бывает такого направления).
Однако по каким-то числам в Вашем решении я понял --- да, такое направление действительно существует.

Вопрос: должны ли Вы убедиться, что направление задано корректно, и включить этот момент в решение? Я не знаю ответа, это чисто пришедшие в голову соображения.