Страшный с виду интеграл

[vonkurt]

Помогите,пожалуйста,взять сей страшный интеграл.

$$\int{\dfrac{\sqrt[3]{\ arctgx}+3\sin2x\cdot(1+x^2)-e^4^{ \ arctgx}}{1+x^2}\,dx$$

Предполагаю так:

$$\int{\dfrac{\sqrt[3]{\ arctgx}}{1+x^2}+ \dfrac{3\ sin 2x}{1+x^2}+ \dfrac{3\ sin 2x^3}{1+x^2}- \dfrac{e^4^{ \ arctgx}}{1+x^2}$$

Пока правильно?Сейчас соображаю...

[ShMaxG]

Разбивайте его на 3 слагаемых. В первом и последнем слагаемом делайте замену $t = \arctg{x}$. А второе слагаемое - просто интеграл от синуса.

[gris]

В первом и третьем занести арктангенс в дифференциал, а во втором сокращается вроде бы. Откуда там икс в кубе появился?

[vonkurt]

gris в сообщении #291002 писал(а):

Откуда там икс в кубе появился?

Это я скобки открыл.Так нельзя?

(Оффтоп)

Значит половина тетрадки на свалку пока ADSL стоял.

[gris]

Вообще, вблизи нуля так оно примерно и есть , но дальше синус утрачивает подобие линейности и, увы, аддитивности.
Но чего Вы растерялись-то?

$$\int\dfrac{\sqrt[3]{\arctg x}}{1+x^2}+ \dfrac{3\sin 2x\cdot(1+x^2)}{1+x^2}- \dfrac{e^4^{ \arctg x}}{1+x^2}\,dx=$$

$$\int\dfrac{\sqrt[3]{\arctg x}}{1+x^2}\,dx+ \int 3\ sin 2x\,dx-\int \dfrac{e^4^{ \arctg x}}{1+x^2}\,dx=$$

$$\int\sqrt[3]{\arctg x}\,d\arctg x+ \int \dfrac32\sin 2x\,d\, 2x-\int e^4^{ \arctg x}\,d\arctg x=$$

[vonkurt]

$$3\sin 2\int{\dfrac{x}{1+x^2)}\,dx-\int{\dfrac{e^4t}{1+x^2}}\,dt+\int{\dfrac{\sqrt[3]t}{1+x^2}}\,dt+3 \sin2\int{\dfrac{x^3}{1+x^2}}\,dx$$

Вроде бы так?

[ИСН]

vonkurt, позвольте посторонний вопрос: чему, по-Вашему, равно $\sin a\over a$?

[vonkurt]

АЯЯЯЯЯЯЙ.Спасибо,gris.Кажись я понял...

(Оффтоп)

Только бы в ближайшие часа два(хорошо бы не сутки )ADSL не пудрился.

-- Вс фев 21, 2010 20:28:25 --

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #291032 писал(а):

vonkurt, позвольте посторонний вопрос: чему, по-Вашему, равно $\sin a\over a$?

Подобное сокращение(как и у меня) я видел где-то в разделе "Юмор"$\mapsto$"случай на экзамене-или-как-то-так".

[vonkurt]

$$\int{3 \cdot \sin2x}\,dx=3\int{\sin2x}\,dx$$

$t=2x,dt=2\,dx$$\mapsto$

$$\dfrac{3}{2}\int{\sin t} \,dt=-\dfrac{3}{2}\cos t=-\dfrac{3}{2}\cos2x+C$$

Затем:

$$\int{\dfrac{\sqrt[3]{\arctg x}}{1+x^2}$$

$t=\arctg x,dt=\dfrac{1}{x^2+1}\mapsto$

$$\int{{\sqrt[3]t}\,dt=\dfrac{3t^{\frac{4}{3}}}{4}+C$$

$t= \ arctgx\mapsto$

$$ =\dfrac{3}{4}\cdot \ arctg x^{\frac{4}{3}}+C$$

Вроде так...
А вот с последней---труба.Подскажите ,как к неперову подобраться.

[ИСН]

Да той же самой заменой с арктангенсом.

[vonkurt]

До сих пор правильно?Хотя ,если бы было неправильно,Вы сказали бы.
Буду биться...

[gris]

vonkurt, это в синус нельзя константу вносить, а в дифференциал можно.

$$\int e^{4\arctg x}\,d\arctg x=\dfrac44\int e^{4\arctg x}\,d\arctg x=\dfrac14\int e^{4\arctg x}\,d(4\arctg x)=$$

$$=\dfrac14\int e^t\,dt=...$$

[vonkurt]

Вроде,так:

$$\int{\dfrac{e^{4\arctan x}}{1+x^2}\,dx$$

$t=4\arctan x,dt=\dfrac{4}{1+x^2}\mapsto$

$$\dfrac{1}{4}\int{e^t}\,dt\mapsto \dfrac {1}{4}e^{4\arctan x}+C$$

УХ,ТЫ!!Но,признаюсь,обгуглился .Искал несчастный этот интеграл.Надо заседать за видеолекции...
Пока вбивал коряво, gris запостил уже ,Спасибо.

-- Вс фев 21, 2010 23:52:23 --

(Оффтоп)

Теперь бы в кучу всё собрать.Неее,я полагаю,не видать мне за эту контрольную четвёрки(как за прошлую)