Решение в целых числах

[Руст]

Докажите, что уравнение $3x^3+4y^3+5z^3=0(mod \ m)$ разрешимо для любого натурального m, в то время как уравнение $3x^3+4y^3+5z^3=0$ не разрешимо в целых числах.

[sergey1]

Предположим, что тройка x,y,z не имеет общих множителей (если имеет, то сократим на него), тогда x и z обязаны быть нечетными.
Перепишим исходное уравнение в виде: $4(x^3+y^3+z^3)=x^3-z^3.$
Левая часть делится на 8, а разность кубов нечетных чисел не делится (нетрудно показать).
P.S. Нулевое решение есть
Правка: наврал. $11^3-3^3=8*163$

[ИСН]

Not that straightforward. Вы пытаетесь доказать через делимость, то есть (другими словами) по модулю, а так не получится, потому что оно как раз решается по всем модулям, но не решается в целых числах.

[MMyaf]

$3x^3+4y^3+5z^3=0(mod \ m)$
$\{[0]_m,[0]_m,[0]_m\} $

Цитата:

в то время как уравнение $3x^3+4y^3+5z^3=0$ не разрешимо в целых числах.

А как же {0,0,0}? 0 ведь принадлежит Z.

[Руст]

Это моё упущение. Когда уравнение однородное, под решением понимается нетривиальное (не все нули). Это относится и к решениям по модулю, т.е. по любому модулю имеется ненулевое (не все нули) решение.

[MMyaf]

Для m четного, $\{[\frac{m}{2}]_m, [0]_m, [\frac{m}{2}]_m\}.

Что касается m = 1. То разрешимость уравнения под сомнением, поскольку Z_1 = \{[0]_1\}. В этом случае возможно только тривиальное решение. Поэтому. наверное не для всех натуральных m, уравнение разрешимо .

[Руст]

Вы правы. Когда говорится о разрешимости по любоиу модулю исключают 1, так как в этом случае все остатки нули..

[juna]

В книге П.Рибенбойма стр. 333 доказывается общая теорема Гурвица о количестве решений сравнения $ax^p+by^p+cz^p=0(q)$.