Интегрирование ("простейшая дробь четвёртого типа")

[Mikle1990]

Привет всем!

$\int \frac{dx}{(x^2+2)^3}$

Натолкните пожалуйста на решение.

[ShMaxG]

Интересный, кстати, интеграл (по-крайней мере потому, что я придумал интересное решение). Хотя, может он именно так и вычисляется, но мое предложение такое.

Я рассмотрел производную функции $\[{\frac{x} {{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}}\] $ и разбил ее на два слагаемых - у одного в знаменателе квадрат, у другого - куб. Понятно, что отсюда мы получим исходный интеграл, если вычислим интеграл, у которого в знаменателе уже квадрат, а не куб. А чтобы вычислить последний - сделаем ту же хитрость, вычислим производную функции $\[{\left( {\frac{x} {{{x^2} + 2}}} \right)}\] $ и выделим два слагаемых - одно из них в знаменателе содержит первую степень (его интеграл - табличный), а другое - квадрат. Все, отсюда тривиально находим все необходимое, для вычисления исходного интеграла.

[Mikle1990]

Спасибо за подсказку!)
Наверно мне долго придётся с этим примером разбираться. Почти последний пример из темы.

[ShMaxG]

Ну вообще я вот что хочу сказать. Вот есть у вас интеграл

$\[{I_n} = \int {\frac{1} {{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^n}}}dx} \]$

Вычислим производную:

$\[\begin{gathered} {\left[ {\frac{x} {{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^{n - 1}}}}} \right]^'} = \frac{{\left( {{x^2} + a} \right) - 2{x^2}\left( {n - 1} \right)}} {{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^n}}} = \frac{{{x^2}\left( {1 - 2\left( {n - 1} \right)} \right) + a}} {{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^n}}} = \frac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {3 - 2n} \right) + a - a\left( {3 - 2n} \right)}} {{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^n}}} = \hfill \\ = \frac{1} {{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^{n - 1}}}}\left( {3 - 2n} \right) + \frac{{2a\left( {n - 1} \right)}} {{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^n}}} \hfill \\ \end{gathered} \]$

Значит $\[2a\left( {n - 1} \right){I_n} = \frac{x} {{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^{n - 1}}}} + \left( {2n - 3} \right)\int {\frac{1} {{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^{n - 1}}}}} dx = \frac{x} {{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^{n - 1}}}} + \left( {2n - 3} \right){I_{n - 1}}\]$.

Вот и спускайтесь , пока до первой степени в знаменателе не доберетесь.

[meduza]

Можно использовать подстановку $x=\sqrt 2\tg t$, интеграл простой получается, но придётся немного повозиться при возвращении к исходной перменной. У ShMaxG красивше.

[ewert]

Это -- стандартный интеграл, стандартный же и счёт:

$$I_n\equiv\int{dx\over(x^2+a^2)^n}={1\over a^2}\int{(x^2+a^2)-x^2\over(x^2+a^2)^n}\,dx={1\over a^2}\left(I_{n-1}-{1\over2(n-1)}\int x\,d{1\over(x^2+a^2)^{n-1}}\right)$$

и т.д.

[ShMaxG]

Стандартный? Эх, снова все до меня придумали

[ewert]

Конечно стандартный. Во всех нормальных курсах это называется "простейшая дробь четвёртого типа" и ровно так и интегрируется -- по частям.

[Mikle1990]

Спасибо за помощь!)

В учебнике нету "простейшая дробь четвёртого типа", только первые три)