2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интегрирование ("простейшая дробь четвёртого типа")
Сообщение19.02.2010, 23:12 


14/12/09
306
Привет всем! :)

$\int \frac{dx}{(x^2+2)^3}$

Натолкните пожалуйста на решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование.
Сообщение19.02.2010, 23:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Интересный, кстати, интеграл (по-крайней мере потому, что я придумал интересное решение). Хотя, может он именно так и вычисляется, но мое предложение такое.

Я рассмотрел производную функции $\[{\frac{x}
{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}}\]
$ и разбил ее на два слагаемых - у одного в знаменателе квадрат, у другого - куб. Понятно, что отсюда мы получим исходный интеграл, если вычислим интеграл, у которого в знаменателе уже квадрат, а не куб. А чтобы вычислить последний - сделаем ту же хитрость, вычислим производную функции $\[{\left( {\frac{x}
{{{x^2} + 2}}} \right)}\]
$ и выделим два слагаемых - одно из них в знаменателе содержит первую степень (его интеграл - табличный), а другое - квадрат. Все, отсюда тривиально находим все необходимое, для вычисления исходного интеграла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование.
Сообщение19.02.2010, 23:51 


14/12/09
306
Спасибо за подсказку!)
:shock: Наверно мне долго придётся с этим примером разбираться. Почти последний пример из темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование.
Сообщение20.02.2010, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Ну вообще я вот что хочу сказать. Вот есть у вас интеграл

$\[{I_n} = \int {\frac{1}
{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^n}}}dx} \]$

Вычислим производную:

$\[\begin{gathered}
  {\left[ {\frac{x}
{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^{n - 1}}}}} \right]^'} = \frac{{\left( {{x^2} + a} \right) - 2{x^2}\left( {n - 1} \right)}}
{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^n}}} = \frac{{{x^2}\left( {1 - 2\left( {n - 1} \right)} \right) + a}}
{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^n}}} = \frac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {3 - 2n} \right) + a - a\left( {3 - 2n} \right)}}
{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^n}}} =  \hfill \\
   = \frac{1}
{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^{n - 1}}}}\left( {3 - 2n} \right) + \frac{{2a\left( {n - 1} \right)}}
{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^n}}} \hfill \\ 
\end{gathered} \]$

Значит $\[2a\left( {n - 1} \right){I_n} = \frac{x}
{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^{n - 1}}}} + \left( {2n - 3} \right)\int {\frac{1}
{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^{n - 1}}}}} dx = \frac{x}
{{{{\left( {{x^2} + a} \right)}^{n - 1}}}} + \left( {2n - 3} \right){I_{n - 1}}\]$.

Вот и спускайтесь :), пока до первой степени в знаменателе не доберетесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование.
Сообщение20.02.2010, 10:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
Можно использовать подстановку $x=\sqrt 2\tg t$, интеграл простой получается, но придётся немного повозиться при возвращении к исходной перменной. У ShMaxG красивше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование.
Сообщение20.02.2010, 10:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Это -- стандартный интеграл, стандартный же и счёт: $$I_n\equiv\int{dx\over(x^2+a^2)^n}={1\over a^2}\int{(x^2+a^2)-x^2\over(x^2+a^2)^n}\,dx={1\over a^2}\left(I_{n-1}-{1\over2(n-1)}\int x\,d{1\over(x^2+a^2)^{n-1}}\right)$$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование.
Сообщение20.02.2010, 11:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2743
Физтех
Стандартный? Эх, снова все до меня придумали :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование.
Сообщение20.02.2010, 11:26 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Конечно стандартный. Во всех нормальных курсах это называется "простейшая дробь четвёртого типа" и ровно так и интегрируется -- по частям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование.
Сообщение20.02.2010, 19:22 


14/12/09
306
Спасибо за помощь!)

В учебнике нету "простейшая дробь четвёртого типа", только первые три)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group