Распределение квантованной величины с фиксированной нормой

[st256]

Пусть есть пространство последовательностей натуральных чисел с фиксированной нормой и заданной длинной. Т.е. для любой последовательности сумма квадратов их членов - величина постоянная.

Вопрос: а какое будет распределение амплитуды одного члена последовательности, если любая последовательность равновероятна?

[Xaositect]

$a = (a_1, a_2,\dots, a_l)$
$a' = (a_2,\dots,a_l)$
$||a||^2 = ||a'||^2 + a_1^2$
Пусть $N(l, n)$ - количество посл-тей длины $l$ с квадратом нормы $n$
Тогда $\mathcal{P}(a_1 = k) = \frac{N(l-1, n-k^2)}{N(l, n)}$

Я еще подумаю, как можно оценить $N$, пока мало что могу про него сказать.

[st256]

Это внезапное озарение или Вы решали уже нечто подобное?

[Xaositect]

st256 в сообщении #290676 писал(а):

Это внезапное озарение или Вы решали уже нечто подобное?

Затрудняюсь ответить, мне кажется, что в комбинаторике что-то похожее я видел.

Есть связь между последовательностями и решениями системы линейных диофантовых уравнений

$$\begin{cases}\sum_k x_k = l\\\sum_k k^2 x_k = n\end{cases}$$

.
(Сумма до $t=\lceil\sqrt n\rceil$) А именно, каждому натуральному решению $(x_1,\dots, x_t)$ соответствует $\frac{(x_1+\dots+x_t)!}{x_1! \dots x_n!}$ последовательностей. (они содежат $x_1$ единиц, $x_2$ двоек и т.д.)