ДУ второго порядка

[Koftochka]

Помогите разобраться, пожалуйста.

Найдите все решения \[2xy^2\left(xy'' + y'\right) + 1 = 0\[.

Решала, вроде бы, правильно:

\[\begin{gathered} 2xy^2\left(xy'' + y'\right) + 1 = 0 \Leftrightarrow 2x^2y'' + 2xy' = - \frac{1}{y^2} \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow 2x^2y'y'' + 2xy'^2 = - \frac{y'}{y^2} \Leftrightarrow x^2\left(y'^2\right)^\prime + \left(x^2\right)^\prime y'^2 = \left(\frac{1}{y}\right)^\prime \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \left(x^2y'^2\right)^\prime = \left(\frac{1}{y}\right)^\prime \Leftrightarrow x^2y'^2 = \frac{1}{y} + C_1 \Leftrightarrow xy' = \pm \sqrt {\frac{1}{y} + C_1} \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \int\!\frac{dy}{\sqrt {\frac{1}{y} + C_1}} = \pm \int\!\frac{dx}{x} \Leftrightarrow \ldots \ldots \ldots \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{C_1}\sqrt{C_1 y^2 + y} + \frac{1}{\sqrt{C_1^3}}\ln \left(\sqrt {C_1 y + 1} - \sqrt{C_1 y}\right) \pm \ln|x| = C_2 \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt{C_1^2 y^2 + C_1 y} + \ln \left(\sqrt{C_1 y + 1} - \sqrt{C_1 y}\right) \pm \sqrt{C_1^3} \ln|x| = C_2\sqrt{C_1^3} . \hfill \\ \end{gathered} \[

Но мэпла выдаёт совершенно другой ответ с арктангенсом. Не пойму, где могла ошибиться, или что не учла. Проверьте, пожалуйста.

[ShMaxG]

Koftochka в сообщении #290182 писал(а):

\int\!\frac{dy}{\sqrt {\frac{1}{y} + C_1}} = \pm \int\!\frac{dx}{x} \Leftrightarrow \ldots \ldots \ldots \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{C_1}\sqrt{C_1 y^2 + y} + \frac{1}{\sqrt{C_1^3}}\ln \left(\sqrt {C_1 y + 1} - \sqrt{C_1 y}\right) \pm \ln|x| = C_2

По-моему ошибка здесь, в логарифме плюс, а не минус.

А напишите, кстати, что говорит мэпл, может это одно и то же

[Koftochka]

ShMaxG в сообщении #290185 писал(а):

Koftochka в сообщении #290182 писал(а):

\int\!\frac{dy}{\sqrt {\frac{1}{y} + C_1}} = \pm \int\!\frac{dx}{x} \Leftrightarrow \ldots \ldots \ldots \Leftrightarrow \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{1}{C_1}\sqrt{C_1 y^2 + y} + \frac{1}{\sqrt{C_1^3}}\ln \left(\sqrt {C_1 y + 1} - \sqrt{C_1 y}\right) \pm \ln|x| = C_2

По-моему ошибка здесь, в логарифме плюс, а не минус.

Проверила

Цитата:

А напишите, кстати, что говорит мэпл, может это одно и то же

Вот мэпловский вариант

[ShMaxG]

В логарифме плюс, если перед логарифмом минус, и наоборот.
А еще - мэпл ставит перед $C_1^2$ минус, а мы нет. Я предполагаю, что эта его константа отличается от нашей множителем - а именно мнимой единицей. Тогда в наших обозначениях арктангенс - гиперболический, а он напрямую связан с логарифмами.

[ИСН]

Рекомендую проверить своё решение железякой. "Пусть лошадь думает, у неё голова большая".

[Padawan]

Еще способ решить это уравнение.

Заметим, что оно допускает растяжения по $x\;\;$ $x\to \lambda x$, вид уравнения при этом не изменяется. Оператор растяжения $x\frac{\partial}{\partial x}$ в координатах $(u,y)$ примет вид $\frac{\partial}{\partial u}$, где $u$ удовлетворяет равнению $x\frac{\partial u}{\partial x}=1$, т.е. $u=\ln x$. Если теперь сделать замену $u=\ln x\;, t=y$, $u=u(t)$, то группа превратиться в группу переносов по $u$, значит уравнение не будет содержать $u$, а только $u'$, $u''$.

После замены получается такое уравнение $-2t^2u''+{u'}^3=0$, которое легко решается.