Интересные объекты задаются счетным числом параметров

[Padawan]

Предлагаю обсудить такое утверждение: все важные для анализа (и вообще для математики) объекты: функции, классы функций, различные пространства, отображения, семейства отображений, точечные множества и т.д. однозначно определяются не более чем счетным набором действительных параметров, причем это соответствие более-менее конструктивно.

Возьмем для примера такое математическое понятие как действительна функция действительного переменного. Для анализа представляют интерес только измеримые функции, причем функции, отличающиеся на множестве меры нуль отождествляются. Я утверждаю, что класс эквивалентных измеримых функций, однозначно определяется счетным набором действительных чисел.

Другой пример - борелевская функция. Ну борелевских функций просто континуум, так что можно ограничиться одним действительным параметром, но это будет неконструктивно, скорее всего. А вот если использовать счетное число параметров, то можно получить вполне конкретное построение борелевского множества.

Полное сепарабельное метрическое пространство с точностью до изоморфизма тоже можно описать счетным числом параметров - используя его вложение в $C[0,1]$ как замкнутое подмножество.

[vek88]

Padawan в сообщении #289747 писал(а):

Предлагаю обсудить такое утверждение: все важные для анализа (и вообще для математики) объекты: функции, классы функций, различные пространства, отображения, семейства отображений, точечные множества и т.д. однозначно определяются не более чем счетным набором действительных параметров, причем это соответствие более-менее конструктивно.

Мне кажется, что можно считать и так, и не так (т.е. некоторые объекты задаются более чем счетным набором действительных параметров). Ни то, ни другое не приводит к противоречию.

Другими словами, Ваше утверждение конструктивно в полных К-системах. А противоположное - неопровержимо конструктивно (в полных К-системах). Определение К-систем см. например, в сообщении #284210

[AGu]

Я, в свою очередь, попробую развлечься на базе классической теории множеств.
Для начала сократим фразу «объект, однозначно определяемый не более чем
счетным набором действительных параметров» до слова «вещь».
Тогда обсуждаемый тезис будет звучать так: всякий интересный объект — это вещь!
Вроде, звучит вполне убедительно.
Но допустим, я все же хочу привести какой-нибудь контрпример $x$ к этому тезису.
Этот $x$ должен быть интересным, но не быть вещью.
Коль скоро $x$ не является вещью, он не может быть определимым.
Значит, конкретный такой $x$ привести невозможно.
Можно, например, попытаться привести конкретный пример такого класса $\mathbb X$,
что все элементы $\mathbb X$ интересны, но не все элементы $\mathbb X$ являются вещами.
Понятие интересного объекта, разумеется, не является формальным.
Можно ли формализовать понятие вещи? Ну в той же ZFC? Попробуем...
Пусть $\mathbb P$ — множество всех не более чем счетных подмножеств $\mathbb R$.
Для произвольной формулы $\varphi(p,y)$ с двумя свободными переменными
будем говорить, что $x$ является $\varphi$-вещью, если $(\exists\,p\in\mathbb P)(\forall\,y)\bigl(\,\varphi(p,y)\Leftrightarrow y=x\,\bigr)$.
Такое определение, вроде, соответствует интуиции —
хотя бы в том смысле, что всякая $\varphi$-вещь является вещью.
Пусть $\mathbb V_\varphi$ — множество всех $\varphi$-вещей. (Оно есть по аксиоме подстановки.)
Страшно хочется обозвать «классом всех вещей» объединение $\mathbb V_\varphi$ по всем $\varphi$,
но нельзя, ибо истинность у нас неопределима. (Все претензии — к Тарскому.)
Подсобить тут может Гёдель с его внутренней истинностью.
Пусть $F$ — множество всех внутренних формул с двумя свободными переменными.
Тогда для любой формулы $f\in F$ и любого множества $V$, содержащего $\mathbb P$,
можно говорить о множестве $V_f$ всех $f$-вещей, принадлежащих $V$:
$V_f=\{x\in V : (\exists\,p\in\mathbb P)\ V\vDash(\forall\,y)\bigl(\,f(p&^\circ,y)\Leftrightarrow y=x^\circ\,\bigr)\}$.
Стало быть, возникает множество $V_F:=\bigcup_{f\in F}V_f$ всех внутренних вещей в $V$.
Код любой формулы $\varphi(p,y)$ принадлежит $F$,
а значит, всякая выделяемая в $V$ вещь принадлежит $V_F$.
В этом смысле всякая вещь (выделяемая в $V$) является внутренней вещью.
Много ли у нас внутренних вещей?
Поскольку $|F|=\omega$ и $|\mathbb P|=\frak c$, мы имеем $|V_f|\leqslant\frak c$ для всех $f\in F$,
а значит, $|V_F|=\bigl|\bigcup_{f\in F}V_f\bigr|\leqslant\frak c$.
Получается, что какой бы интересный универсум $V$ мы ни выбрали,
количество имеющихся в нем вещей не может превысить континуум.
Таким образом, (с очевидной натяжкой) из выдвинутого тезиса следует,
что в математике не встречается более континуума интересных объектов.
Можно ли с этим согласиться? На мой взгляд, можно.
Кому интересны, скажем, все непрерывные функционалы на $C[0,1]$?
Риссу? Едва ли. По-моему, среди них куча совершенно неинтересных
функционалов. Конкретный пример я, естественно, не приведу, так как
он сразу станет для меня интересным. А так, вообще, — легко соглашусь.
Откровенно говоря, мне бы не было обидно, даже если бы количество
интересных объектов оказалось счетным.

[Padawan]

А разве непрерывных функционалов на $C[0,1]$ не континуум?

[Padawan]

Непрерывных функций на сепарабельном пространстве - континуум. Интересно, а второе сопряженное к $C[0,1]$ будет вещью? Я думаю, что тоже будет.

[AGu]

Padawan в сообщении #290160 писал(а):

А разве непрерывных функционалов на $C[0,1]$ не континуум?

Упс, континуум. Я балбес.
Как бы выкрутиться с минимумом исправлений?..
О, придумал: вместо $C[0,1]$ написать $C(0,1)$.
Или даже $C[0,1)$ — всего одна скобочка изменилась, а какой эффект!

[AGu]

Вкусовой вопрос: во всяком ли непустом интересном множестве должен найтись хотя бы один интересный элемент?

[Padawan]

Подозреваю, что на $C(0,1)$ тоже континуум непрерывных функций.

[AGu]

Padawan в сообщении #290428 писал(а):

Подозреваю, что на $C(0,1)$ тоже континуум непрерывных функций.

Хмм... А мне кажется, что на $C(0,1)$ даже линейных
непрерывных функционалов аж целый гиперконтиннуум ($2^\frak c$).
Если под $C(0,1)$ мы понимаем одно и то же, а именно,
множество ограниченных непрерывных функций из $(0,1)$ в $\mathbb R$,
снабженное равномерной метрикой, то мне интересно,
где я косячу, рассуждая следующим макаром...

Для простоты заменим $C(0,1)$ на изометричное ему $C(\mathbb R)$.
Далее, смекнем, что в $C(\mathbb R)$ сидит изометричная копия
пространства $\ell^\infty$ (например, подпространство ограниченных
кусочно-аффинных непрерывных функций с изломами в целых числах).
Потом вспомним тот нетривиальный факт, что топологически
сопряженное к $\ell^\infty$ пространство гиперконтинуально.
Наконец, заметим, что всякий непрерывный линейный функционал,
определенный на подпространстве, можно продолжить на все
пространство до непрерывного линейного функционала, и что
разные функционалы будут при этом иметь разные продолжения.

[Padawan]

AGu в сообщении #290454 писал(а):

Потом вспомним тот нетривиальный факт, что топологически
сопряженное к $\ell^\infty$ пространство гиперконтинуально.

А ссылочку не дадите?

[AGu]

Padawan в сообщении #290482 писал(а):

AGu в сообщении #290454 писал(а):

Потом вспомним тот нетривиальный факт, что топологически сопряженное к $\ell^\infty$ пространство гиперконтинуально.

А ссылочку не дадите?

Наверняка этот факт где-то доказан в явном виде, но вместо ссылки
мне будет проще поделиться схемой одного из возможных доказательств.

Как известно, множество ультрафильтров в $\mathcal P(\mathbb N)$ гиперконтинуально
(см., например, К.Куратовский, А.Мостовский, Теория множеств, гл. 8, § 8).
Пусть $U\subset\mathcal P(\mathbb N)$ — ультрафильтр
и пусть $\chi_U:\mathcal P(\mathbb N)\to\{0,1\}$ — его характеристическая функция.
Как легко видеть, $\chi_U\in ba\bigl(\mathcal P(\mathbb N)\bigr)$, т.е. $\chi_U$ — ограниченный заряд на $\mathcal P(\mathbb N)$.
[ Собственно, этого уже достаточно, так как $(\ell^\infty)^*$ изометрично $ba\bigl(\mathcal P(\mathbb N)\bigr)$,
но развлечения ради я доведу мостик до искомого бережка. ]
На подпространстве ${\rm st}\subset\ell^\infty$ последовательностей с конечными образами,
т.е. последовательностей вида $\sum_{i=1}^n\alpha_i\chi_{A_i}$ $(\alpha_i\in\mathbb R,\ A_i\subseteq\mathbb N)$,
определим функционал $S_U$, полагая $S_U\bigl(\sum_{i=1}^n\alpha_i\chi_{A_i}\bigr)=\sum_{i=1}^n\alpha_i\chi_U(A_i)$.
Несложно показать, что $S_U\in{\rm st}^*$.
Этот $S_U$ можно продолжить до $T_U\in(\ell^\infty)^*$.
(Кстати, ${\rm st}$ всюду плотно в $\ell^\infty$, а значит, такой $T_U$ всего один.)
Осталось заметить, что разным $U$ соответствуют разные $T_U$.

[vek88]

Мужики!

Смотрю я на Вас, и вспоминаю старый добрый еврейский анекдот.

Выступил Моня, выступил Зяма. И все видят, что оба они - большие ученые.

Мужики, это не в обиду Вам, а от души. Если честно, я знал, что такое, к примеру, сепарабельное пространство - ... но только позабыл.

С уважением и пожеланием успехов,
vek88

ЗЫ, т.е. PS. С праздниками Вас - как ни как гуляем 4 дня.

[EvgenyGR]

Padawan в сообщении #289747 писал(а):

Предлагаю обсудить такое утверждение: все важные для анализа (и вообще для математики) объекты: функции, классы функций, различные пространства, отображения, семейства отображений, точечные множества и т.д. однозначно определяются не более чем счетным набором действительных параметров, причем это соответствие более-менее конструктивно.

А можно я немного изменю Ваш вопрос. «Важные объекты» заменю на «определяемые объекты» (наверное «важные объекты» можно считать подмножеством), «набор действительных параметров» заменю на «набор независимых действительных параметров» (так мне кажется красивее) или что тоже самое минимальное количество параметров необходимых для описания объекта. Теперь что значит «определяемый объект»? Математика сущность безусловно привязанная к человеческому сознанию, но независимая от конкретной личности, т.е. под математикой надо понимать все что написано на бумаге с помощью конечного числа печатных символов. Печатный символ вещь более простая, чем действительное число. Получается, что любой определяемый математический объект (важный объект) может быть определен конечным числом параметров более простых чем действительное число. .

[vek88]

При конструктивном подходе - да, Вы правы, поскольку любое счетное множество ДЧ мы можем определить конечным набором правил в некоторой К-системе.

При классическом, с верой в существование более мощных множеств во внешнем мире, - Вы не правы - мы можем считать, что есть интересные объекты со счетным множеством действительных параметров, но не все эти объекты мы можем определить.

Как видите, я не просто демократ - я плюралист.

[EvgenyGR]

vek88 в сообщении #291646 писал(а):

При классическом, с верой в существование более мощных множеств во внешнем мире, - Вы не правы - мы можем считать, что есть интересные объекты со счетным множеством действительных параметров, но не все эти объекты мы можем определить.

А я не говорил о внешнем мире, я говорил об «определяемых объектах» разумеется определяемых нами (людьми), если во внешнем мире существуют объекты для определения которых минимально необходимое число параметров бесконечно (а так оно скорее всего и есть), то такие объекты мы можем и не определить (во всяком случае однозначно не сможем). Эти рассуждения приводят к мысли об ограниченности наших возможностей в познании. Я уже где-то на этом форуме писал, что возможно в нашем мозге существуют такие объекты и мы можем сопоставить их объектам из внешнего мира лишь через не полное соответствие (в соответствие по конечному количеству параметров) в надежде что это соответствие будет успешным в некоторой области. Вообще говоря удивителен сам факт, что бесконечно описываемые объекты (это мое название объектов с бесконечным набором минимально необходимых параметров для полного определения объекта) могут быть сопоставлены в какой-то области, т.е. вести себя одинаково по отношению к друг - другу. Я назвал это свойство автономностью. Или по - другому одни из законов природы заключается в том, что возможна автономность, или то что в статистике называют макропараметрами, которые в каком-то смысле автономны по отношению к микропараметрам.