Преобразование Фурье

[Alexey1]

Необходимо найти преобразование Фурье для функции $f(x)=\frac{1}{\|x\|^2}, x\in R^3$. При вычислении получается интеграл $\int_{R^3} e^{-i \xi x} \frac{1}{\|x\|^2} dx=\int_0^{\pi} \int_0^{\infty} \int_0^{2\pi} e^{-ir\|\xi\|\cos(\theta)}\sin(\theta)d\phi dr d\theta=2\pi \int_0^{\pi} \int_0^{\infty} e^{-ir\|\xi\|\cos(\theta)}\sin(\theta)dr d\theta$. Здесь перед использованием сферических координат вектор $\xi$ был преобразован в ось $z$, то есть в подъинтегральной функции присутствует только угол $\theta$. Как вычисляются такие интегралы? Матпакеты дают результат при условии $Im(\|\xi\| \cos(\theta))<0$, что вообще-то не выполняется.

[Хорхе]

Предлагаю начать с того, что записать преобразование Фурье в $\mathbb R^3$ правильно.

[Alexey1]

Вы имеете ввиду то, что минус не был написан в первом интеграле?

[ewert]

Минус -- это дело вкуса (как и опущенный множитель $(2\pi)^{-3/2}$ перед интегралом).

Интеграл по углу-то берётся элементарно. После чего по радиусу получается стандартный интеграл Френеля.

Другое дело, что это будет тройной интеграл "в смысле главного значения". Ну тут уж ничего не поделаешь, ведь в обычном смысле этот интеграл расходится.

[Padawan]

Не интеграл Френеля, а интеграл Дирихле $\int\limits_0^{+\infty}\dfrac{\sin ar}{r}\, dr = \dfrac {\pi}{2}$, где $a=\|\xi\|>0$.

[Alexey1]

Всем спасибо за ответы. Действительно, сначала надо взять интеграл по углу, а затем по радиусу и использовать интеграл Френеля (Дирихле)

$$2\pi \int_0^{\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-ir\|\xi\| \cos(\theta)}\sin(\theta)dr d\theta=2\pi \int_0^{\infty} \int_{0}^{\pi} e^{-ir\|\xi\| \cos(\theta)}\sin(\theta)d\theta dr=2\pi \int_0^{\infty} \frac{2i\sin(r\|\xi\|)}{ir\|\xi\|}=\frac{2\pi^2}{\|\xi\|}$$

[ewert]

Всё-таки Дирихле. Я их почему-то вечно путаю.