предел интегралов

[Paata]

Предлагается посчитать

$$ \lim_{n \to \infty} \left( \int_{0}^{1} x^{\frac{n(n+1)}{2}}(1-x)(1-x^{2})...(1-x^{n}) dx \right)^{1/n} $$

[RIP]

Предел равен $e^c=0.185155289\ldots$, где $c=-1.686560404\ldots$ --- максимум функции (при $t=1.405054216578\ldots$)

$$f(t)=\frac{\mathop{\mathrm{Li}}\nolimits_2(e^{-t})-\pi^2/6}t-t/2=\int_0^1\log(1-e^{-t\xi})\,\mathrm d\xi-t/2,\quad t>0.$$

Не знаю, можно ли этот максимум выразить через известные постоянные.

[Paata]

ну предпологалось еще пояснить : если он равен этому тогда почему ?

[RIP]

Можно и пояснить. Для начала удобно сделать замену $x=e^{-t/n}$. Тогда интеграл превратится в

$$\frac1n\int_0^\infty e^{-(n/2+1/2+1/n)t}\prod_{k=1}^n\bigl(1-e^{-kt/n}\bigr)\,\mathrm dt.$$

Интегралом по $t>n$ можно пренебречь, поскольку он меньше $e^{-n^2/2}$. Пусть $0<t<n$. Тогда

$$\sum_{k=1}^n\log\bigl(1-e^{-kt/n}\bigr)=-\sum_{k=1}^n\sum_{m=1}^\infty\frac{e^{-mkt/n}}m=\sum_{m=1}^\infty\frac{e^{-mt}-1}{m\bigl(e^{mt/n}-1\bigr)}=$$ $$\sum_{m\le n/t}\frac{e^{-mt}-1}m\bigl(n/(mt)-1/2+O(mt/n)\bigr)+O(1)=n\int_0^1\log\bigl(1-e^{-t\xi}\bigr)\,\mathrm d\xi+\frac12\log\frac{n(1-e^{-t})}t+O(1).$$

Собственно, отсюда результат следует мгновенно. Чуть более тонкие рассуждения показывают

$$\sum_{k=1}^n\log\bigl(1-e^{-kt/n}\bigr)=n\int_0^1\log\bigl(1-e^{-t\xi}\bigr)\,\mathrm d\xi+\frac12\log\frac{2\pi n(1-e^{-t})}t+O\bigl((t+1)/n\bigr)$$

($0<t<n$), откуда получаем более точный результат

$$\int_0^1x^{n(n+1)/2}(x;x)_n\mathrm dx=\frac{2\pi}n\sqrt{\frac{e^{-t_0}-1}{t_0f''(t_0)}}\,e^{nf(t_0)-t_0/2}\left(1+O\left(\frac1n\right)\right)\approx\frac{3.29106152149}ne^{-1.686560404n}.$$

Здесь $f(t)$ та же, что и раньше, $t_0$ --- точка максимума.